три задачки
Oct. 15th, 2002 05:48 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaТри математических задачки олимпиадного типа. Первая лёгкая, вторая и третья чуть сложней, возможно. Решения напишу через день-два, если какие-то не решат в комментах.
1. Прямая линия, пересекающая шахматную доску размером 8x8, пересекает в ней какое-то количество шахматных полей-квадратов. Условимся, что прямая пересекает квадрат, если она проходит сквозь хотя бы одну точку внутри его (точки на границе "не считаются"). Найти максимальное число квадратов, которое может пересечь прямая.
2. На плоскости с координатной сеткой рисуем круг с радиусом 2 (радиус, не диаметр!). Какое-то количество вершин координатной сетки (точек-перекрестий) окажутся внутри круга; здесь, опять-таки, точки, оказавшиеся на границы круга, "не считаются". Найти минимальное и максимальное возможное число вершин сетки, могущих попасть внутрь круга.
3. Для каждого натурального числа n определим f(n) = количество положительных делителей числа n, т.е. чисел, на которые n делится без остатка -- включая 1 и само число n. Например, f(1)=1, а f(4)=3, потому что у четвёрки есть три делителя: 1, 2 и 4.
Каждое натуральное число n порождает бесконечную последовательность такого вида: n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ... То есть мы берём количество делителей последнего числа в списке и добавляем его в конец списка, потом опять берём уже его количество делителей и добавляем, и так до бесконечности.
Задание: найти (и доказать, естественно), для каких n порождаемая ими последовательность не содержит ни одного точного квадрата (т.е. числа вида k2, являющегося квадратом другого натурального числа).
1. Прямая линия, пересекающая шахматную доску размером 8x8, пересекает в ней какое-то количество шахматных полей-квадратов. Условимся, что прямая пересекает квадрат, если она проходит сквозь хотя бы одну точку внутри его (точки на границе "не считаются"). Найти максимальное число квадратов, которое может пересечь прямая.
2. На плоскости с координатной сеткой рисуем круг с радиусом 2 (радиус, не диаметр!). Какое-то количество вершин координатной сетки (точек-перекрестий) окажутся внутри круга; здесь, опять-таки, точки, оказавшиеся на границы круга, "не считаются". Найти минимальное и максимальное возможное число вершин сетки, могущих попасть внутрь круга.
3. Для каждого натурального числа n определим f(n) = количество положительных делителей числа n, т.е. чисел, на которые n делится без остатка -- включая 1 и само число n. Например, f(1)=1, а f(4)=3, потому что у четвёрки есть три делителя: 1, 2 и 4.
Каждое натуральное число n порождает бесконечную последовательность такого вида: n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ... То есть мы берём количество делителей последнего числа в списке и добавляем его в конец списка, потом опять берём уже его количество делителей и добавляем, и так до бесконечности.
Задание: найти (и доказать, естественно), для каких n порождаемая ими последовательность не содержит ни одного точного квадрата (т.е. числа вида k2, являющегося квадратом другого натурального числа).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2002-10-15 10:50 am (UTC)(рассмотрим линию под углом меньшим 90, остальные идут симметрично)
В этом случае при переходе из квадрата в квадрат линия попадает или в квдрат выше или
в квадрат правее (или одновременно). В случае движение вверх + вправо (вправо + вверх -
аналогично), каждый переход от исходного квадрата добавляет 2 новых (например: из А1
переходим в А2, потом В2). Переход из А1 сразу в В2 не выгоден (теряется квадрат).
Рассуждая таким образом приходим к максимальному пути, условие окончания которого: манёвр
"вверх + вправо" невозможен. Получаем 1 + 2 * 7 = 15 (семь раз можно подняться вверх).
no subject
Date: 2002-10-15 10:55 am (UTC)на пол-клетки вверх (чтобы работало "вверх-вправо").
Re:
Date: 2002-10-15 12:28 pm (UTC)no subject
Date: 2002-10-15 02:36 pm (UTC)Re:
Date: 2002-10-15 02:55 pm (UTC)