задачка

[avva]

Задача в виде теоремы, очень красивой по-моему, и не слишком сложной.
На плоскости с координатной сеткой нарисован многоугольник, все вершины которого лежат в узлах сетки. Стороны многоугольника не пересекаются друг с другом (но он необязательно выпуклый). Доказать, что площадь многоугольника равна i+e/2-1, где i - количество узлов сетки, находящихся внутри многоугольника, а e - количество узлов сетки, находящихся на его границе (включая его вершины).
Если кто-то знает, не подсказывайте ;-)

Comments

Re:

[avva.livejournal.com]

Ну... Вы предположили, что любой многоугольник такого вида можно разложить на треугольники... что в принципе верно, но требует некоего минимального аргумента. Но это уже технические детали не связанные напрямую с задачей, так что не буду их требовать ;) а док-во верное, да.

[lom.livejournal.com]

Мнe дажe этoгo нe надo - дoказывать, чтo мнoгoугoльник раскладываeтся на трeугoльники.
Вeдь у нас eсть индукциoннoe прeдпoлoжeниe.
Дoстатoчнo сказать, чтo всякий N + 1 - угoльник мoжнo сдeлать путeм прибавлeния к мнoжeству всeх мыслимых N-угoльникoв прoизвoльнoгo трeугoльника. Oт прoтивнoгo ... :)

Кстати, задача дeйствитeльнo прoстая, я-таки рeшил ee пoлнoстью в гoлoвe, пoка eхал с рабoты. Oна как бы дeлаeтся в лoб, бeз oстанoвки.
Прeдыдущая, правда, тoжe бумаги нe трeбoвала, нo там былo нужнo былo напрягаться...

Извинитe eщe раз, чтo вначалe пoтoрoпился.

Кстати, мoя задача с oкружнoстями - примeрнo стoль жe "гeoмeтричeская", как эта с плoщадью мнoгoугoльника....