avva | решение задачек и ещё одна задачка

Решение двух математических задач и одной шахматной -- за элжекатом.

Ещё одна математическая задачка, тоже на любителя. Не особенно сложная, но милая.

Есть бесконечная последовательность натуральных (целых положительных) чисел n₁,n₂,n₃,...
Дано, что n_k+1 > n_{n_k} для всех k (присмотритесь внимательно к этому условию!). Доказать, что последовательность эта на самом деле -- 1,2,3,4...

Шахматная: 1. e4 Nf6 2. f3 Nxe4 3. Qe2 Ng3 4. Qxe7+ Qxe7+ 5. Kf2 Nxh1x

Математическая про координатную сетку: в комментах уже дали адекватное решение, которое, однако, опирается на трансформацию Фурье (то же самое, но длиннее, можно сделать, переведя стандартный аргумент в случае гармонических функций на случай целочисленной сетки: определить, что такое "замкнутая кривая", вывести аналог формулы Пуассона, выражающий значении функции в точке через значения на границе "замкнутой кривой", взять в качестве такой кривой квадрат или ромб с центром в вершине координат и послать длину его стороны в бесконечность). Мне казалось, что у меня есть решение проще, но я обнаружил, что там не всё до конца доказано, и я не уверен, что знаю, как доказать.

Математическая про непрерывную функцию, принимающую каждое своё значение несчётное число раз:

Вот особенно красивый пример такой функции. Будем определять её на отрезке (0,1). Разложим аргумент в десятичное разложение: x=0.a₁a₂a₃... , каждая цифра от 0 до 9.
А значение функции будет выражено в бесконечном двоичном разложении: f(x)=0.b₁b₂b₃... , каждая цифра 0 или 1.

Сначала скажем так: если a_n от 0 до 4, до возьмём b_n=0, а если a_nот 5 до 9, возьмём b_n=1.

Тогда получается почти хорошо: функция выходит очевидным образом непрерывная и непостоянная, и каждое значение принимает несчётное число раз, т.к. для каждого значения есть больше одного способа изменить аргумент в каждой цифре, чтобы получить то же значение; всего возможных изменений аргумента выходит несчётное число.

Проблема в том, что функция выходит плохо определённой:

f (0.21399999999999...) = 0.0001111111111... = 0.001
f (0.21400000000000...) = 0.0000000000000... = 0

Одно и то же значение аргумента даёт два разных значения функции, в зависимости от разложения. Поэтому нам надо чуть-чуть подправить определение функции следующим образом:

если a_n от 1 до 4, то b_n=0;
если a_n от 5 до 8, то b_n=1;
если a_n=0 или 9, и равна a_n-1, то b_n=b_n-1;
если a_n=0 или 9, и не равна a_n-1, то b_n=1 - b_n-1.

Теперь легко можно проверить, что разные "версии" записи одного и того же аргумента дадут теперь одинаковые значения функции, и она сохраняет при этом важные для нас свойства.