решение задачек и ещё одна задачка
Feb. 4th, 2003 11:27 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaРешение двух математических задач и одной шахматной -- за элжекатом.
Ещё одна математическая задачка, тоже на любителя. Не особенно сложная, но милая.
Есть бесконечная последовательность натуральных (целых положительных) чисел n1,n2,n3,...
Дано, что nk+1 > nnk для всех k (присмотритесь внимательно к этому условию!). Доказать, что последовательность эта на самом деле -- 1,2,3,4...
Шахматная: 1. e4 Nf6 2. f3 Nxe4 3. Qe2 Ng3 4. Qxe7+ Qxe7+ 5. Kf2 Nxh1x
Математическая про координатную сетку: в комментах уже дали адекватное решение, которое, однако, опирается на трансформацию Фурье (то же самое, но длиннее, можно сделать, переведя стандартный аргумент в случае гармонических функций на случай целочисленной сетки: определить, что такое "замкнутая кривая", вывести аналог формулы Пуассона, выражающий значении функции в точке через значения на границе "замкнутой кривой", взять в качестве такой кривой квадрат или ромб с центром в вершине координат и послать длину его стороны в бесконечность). Мне казалось, что у меня есть решение проще, но я обнаружил, что там не всё до конца доказано, и я не уверен, что знаю, как доказать.
Математическая про непрерывную функцию, принимающую каждое своё значение несчётное число раз:
Вот особенно красивый пример такой функции. Будем определять её на отрезке (0,1). Разложим аргумент в десятичное разложение: x=0.a1a2a3... , каждая цифра от 0 до 9.
А значение функции будет выражено в бесконечном двоичном разложении: f(x)=0.b1b2b3... , каждая цифра 0 или 1.
Сначала скажем так: если an от 0 до 4, до возьмём bn=0, а если anот 5 до 9, возьмём bn=1.
Тогда получается почти хорошо: функция выходит очевидным образом непрерывная и непостоянная, и каждое значение принимает несчётное число раз, т.к. для каждого значения есть больше одного способа изменить аргумент в каждой цифре, чтобы получить то же значение; всего возможных изменений аргумента выходит несчётное число.
Проблема в том, что функция выходит плохо определённой:
f (0.21399999999999...) = 0.0001111111111... = 0.001
f (0.21400000000000...) = 0.0000000000000... = 0
Одно и то же значение аргумента даёт два разных значения функции, в зависимости от разложения. Поэтому нам надо чуть-чуть подправить определение функции следующим образом:
Теперь легко можно проверить, что разные "версии" записи одного и того же аргумента дадут теперь одинаковые значения функции, и она сохраняет при этом важные для нас свойства.
Ещё одна математическая задачка, тоже на любителя. Не особенно сложная, но милая.
Есть бесконечная последовательность натуральных (целых положительных) чисел n1,n2,n3,...
Дано, что nk+1 > nnk для всех k (присмотритесь внимательно к этому условию!). Доказать, что последовательность эта на самом деле -- 1,2,3,4...
Шахматная: 1. e4 Nf6 2. f3 Nxe4 3. Qe2 Ng3 4. Qxe7+ Qxe7+ 5. Kf2 Nxh1x
Математическая про координатную сетку: в комментах уже дали адекватное решение, которое, однако, опирается на трансформацию Фурье (то же самое, но длиннее, можно сделать, переведя стандартный аргумент в случае гармонических функций на случай целочисленной сетки: определить, что такое "замкнутая кривая", вывести аналог формулы Пуассона, выражающий значении функции в точке через значения на границе "замкнутой кривой", взять в качестве такой кривой квадрат или ромб с центром в вершине координат и послать длину его стороны в бесконечность). Мне казалось, что у меня есть решение проще, но я обнаружил, что там не всё до конца доказано, и я не уверен, что знаю, как доказать.
Математическая про непрерывную функцию, принимающую каждое своё значение несчётное число раз:
Вот особенно красивый пример такой функции. Будем определять её на отрезке (0,1). Разложим аргумент в десятичное разложение: x=0.a1a2a3... , каждая цифра от 0 до 9.
А значение функции будет выражено в бесконечном двоичном разложении: f(x)=0.b1b2b3... , каждая цифра 0 или 1.
Сначала скажем так: если an от 0 до 4, до возьмём bn=0, а если anот 5 до 9, возьмём bn=1.
Тогда получается почти хорошо: функция выходит очевидным образом непрерывная и непостоянная, и каждое значение принимает несчётное число раз, т.к. для каждого значения есть больше одного способа изменить аргумент в каждой цифре, чтобы получить то же значение; всего возможных изменений аргумента выходит несчётное число.
Проблема в том, что функция выходит плохо определённой:
f (0.21399999999999...) = 0.0001111111111... = 0.001
f (0.21400000000000...) = 0.0000000000000... = 0
Одно и то же значение аргумента даёт два разных значения функции, в зависимости от разложения. Поэтому нам надо чуть-чуть подправить определение функции следующим образом:
- если an от 1 до 4, то bn=0;
- если an от 5 до 8, то bn=1;
- если an=0 или 9, и равна an-1, то bn=bn-1;
- если an=0 или 9, и не равна an-1, то bn=1 - bn-1.
Теперь легко можно проверить, что разные "версии" записи одного и того же аргумента дадут теперь одинаковые значения функции, и она сохраняет при этом важные для нас свойства.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2003-02-05 02:16 pm (UTC)И тoгда всe мoи прeтeнзии к рeшeнию Анатoлия снимаются...
Нo я никoгда нe слышал o такoм спoсoбe oпрeдeлить дeйствитeльныe числа. Забавнo...
no subject
Date: 2003-02-05 02:55 pm (UTC)no subject
Date: 2003-02-05 11:32 pm (UTC)Это совершенно эквивалетно "классическому" способу определения действительых чисел и есть соответствующие теоремы (что каждой точке можно взаимно однозначно поставить в соответствие бесконечную дестичную дробь). По прошествии многих лет процитировать точно на память затрудняюсь, а учебника под рукой нет:(
no subject
Date: 2003-02-06 02:12 am (UTC)Но и без этого утверждается, что ЛЮБОЕ действительное число можно выразить десятичной дробью, даже бесконечной длины.
no subject
Date: 2003-02-06 03:20 am (UTC)no subject
Date: 2003-02-06 03:25 am (UTC)кстати, а почему не заострили внимание на трансцедентных числах? :)
no subject
Date: 2003-02-06 03:40 am (UTC)кстати, а почему не заострили внимание на трансцедентных числах? :)
Вопрос не по адресу. :)