вести с логического фронта: Виттгенштейн Гёдель

[avva]

Между тем в рассылке FOM (Foundations of Mathematics) уже две недели, оказывается, идут ожесточённые споры о Виттгенштейне и Гёделе (у меня эта рассылка складывается автоматически в отдельную папку, и я иногда забываю её читать).

Виттгенштейн немало написал о философии математики; большинство написанного им на эту тему собрано в опубликованном посмертно сборнике Remarks on the Foundations of Mathematics (1956). Надо отметить, что существует мнение (которого придерживаются и многие из тех, кто ценят у уважают труды Виттгенштейна в других областях), согласно которому взгляды Виттгенштейна на философию математики особого интереса не представляют, потому что В. очень плохо знал математику, и его рассуждения полны элементарных технических и математических ошибок и заблуждений (мне это мнение кажется более или менее верным). Другие считают, что, несмотря на математические ошибки (некоторые из которых они считают не ошибками, а неправильной интерпретацией слов В.), в рассуждениях В. на эти темы есть очень много важного и полезного.

В этот раз обсуждается высказывание В. о знаменитой теореме Гёделя о неполноте — высказывание, которое обычно считается свидетельством того, что В. теорему Гёделя совершенно не понял.

Вот это высказывание:

I imagine someone asking my advice; he says: "I have constructed a
proposition (I will use 'P' to designate it) in Russell's symbolism, and by
means of certain definitions and transformations it can be so interpreted
(or clarified) that it says: 'P is not provable in Russell's system'. Must I
not say that this proposition on the one hand is true, and on the other hand
is unprovable? For suppose it were false; then it is true that it is
provable. And that surely cannot be! And if it is proved, then it is proved
that it is not provable. Thus it can only be true but unprovable.

Just as we ask: "'provable' in what system?", so we must also ask: "'true'
in what system?" 'True in Russell's system' means, as was said: proved in
Russell's system; and 'false in Russell's system' means: the opposite has
been proved in Russell's system. Now what does your "suppose it is false"
mean? In the Russell sense it means 'suppose the opposite is proved in
Russell's system'; if that is your assumption, you will now presumably give
up the interpretation that it is unprovable. And by 'this interpretation' I
understand the translation into this English sentence.—if you assume that
the proposition is provable in Russell's system, that means it is true in
the Russell sense, and the interpretation "P is not provable" again has to
be given up. If you assume that the proposition is true in the Russell
sense, the same thing follows. Further: if the proposition is supposed to be
false in some other than the Russell sense, then it does not contradict this
for it to be proved in Russell's system. (What is called "losing" in chess
may constitute winning in another game.) (RFM, I, Appendix III, §8)

Первый абзац здесь — относительно нормальный пересказ одной из версий "неформального" аргумента первой теоремы о неполноте Гёделя; со вторым абзацем плохо — там идёт густой туман, который, кажется, можно объяснить только тем, что В. не очень понимает, что такое "истинность" в формальной логике и чем она отличается от доказуемости (не различает синтаксис и семантику, одним словом).

Так вот, оказывается, Floyd & Putnam (имя первой мне раньше не встречалось, второй — очень известный философ, специалист в области философии науки/математики/логики) опубликовали статью пару лет назад, в которой они утверждают, что в этом отрывке из Виттгенштейна скрывается глубокая, технически нетривиальная мысль, которую все проглядели. Вокруг этой статьи и развивается сейчас дискуссия в FOM, с периодическим участием Floyd.

Статья Флойд и Патнема есть в сети (формат PDF). Она не слишком длинна и хорошо написана. Моё первичное впечатление вот какое:

• Изобретательность, с какой авторы статьи впихивают нетривиальное содержание в слова Виттгенштейна — поразительна; тем не менее,
  
• всё же это слишком неубедительно — как то, что Виттгенштейн мог сам дойти до этого (не слишком сложного, но технически нетривиального) результата в области, в которой он, судя по другим его рассуждениям вокруг и около, очень мало понимал; так и то, что если бы он хотел именно это сказать, то записал бы так, как он написал. Кроме того,
  
• сам аргумент, приписываемый В., вызывает у меня подозрения; точнее, его можно разделить на математическую и философскую части, и то, что философская интерпретация (а именно: нам нужно будет отказаться от представления о том, что наша формула передаёт неформально утверждение о том, что её невозможно доказать в PM) следует из математического результата (а именно: нестандартные модели у теории, которая не омега-консистентна). Мне кажется, что Floyd & Putnam совершенно необоснованно переходят от синтаксической репрезентации соответствующих предикатов "x — натуральное число" итп. к их семантической репрезентации. Доказательство теоремы Гёделя использует синтаксическую арифметизацию, в рамках которой не очень важно, какие именно члены какой-нибудь модели будут выполнять нашу формулу "x — натуральное число"; важно, чтобы сама теория T, для которой мы доказываем неполноту, доказывала нужные свойства наших арифметизированных предикатов.
  

Впрочем, насчёт третьего возражения я пока не уверен, это только набросок мысли; но это возражение, с другой стороны — самое существенное с точки зрения собственно аргумента Floyd & Putnam (а не вопроса о том, что думал или не думал Виттгенштейн). Если смогу ещё подумать над этим и уточнить как следует мысль, напишу в FOM по этому поводу.

Вообще, любопытно, как много копий ломают в данном случае (и, конечно, очень часто в современной философии вообще) не по поводу какого-то конкретного утверждения — т.е. не по поводу истинности/оправданности/интересности какого-то философского аргумента — а по поводу того, что именно имел в виду в данном случае знаменитый философ.

Comments

Re:

[avva.livejournal.com]

[cont'd]
У ZFC просто нет канонической модели, в том смысле, в каком она есть у арифметики. Когда мы говорим, что что-то "истинно" в ZFC, это всегда означает формальное доказательство из ZFC и ничего другого. К ZFC, однако, тоже можно применить теорему Гёделя, т.к. она мощнее чем, скажем, PA, для которой мы провели полностью док-во Гёделя, и PA можно в ней "интерпретировать". Для ZFC можно построить утверждение G, к-е не будет ни доказуемо, ни опровергаемо в ZFC. Но говорить о его истинности мы можем теперь только с неформальной, метаматематической точки зрения.

Или вот ещё один способ посмотреть на то же самое. Гёделево утверждение G для PA верно в N (неформальный аргумент), и мы это можем формально доказать, но не в самой PA (она это не может доказать, потому что внутри неё вообще нельзя определить "истинность в N"), а в куда более мощной ZFC. ZFC мощна, и потому мы можем определить нашу семантическую "вселенную" N в ней в качестве синтаксического объекта-множества N, и свести любое семантическое утверждение об истинности в N к синтаксическому утверждению о доказуемости соответствующего утверждения о множествах. Гёделево утверждение G для ZFC в каком-то неформальном смысле тоже "истинно", но формализовать эту "истинность" нам уже просто негде.

Я, кажется, сильно увлёкся и ушёл в сторону от Вашего вопроса. Поэтому попробую к нему вернуться.
Разница между PA и ZFC вот в чём. И та и другая - формальные теории, некий набор аксиом. Однако для первой N не является частью теории, а является моделью, какой-то канонической моделью, которую мы выбрали, и в которой мы проверяем истинность или ложность утверждений PA или любых других утверждений в том же языке арифметики, когда нам это удобно. Для ZFC же N - это объект, описываемый теорией, это множество, как любое другое множество, о котором ZFC что-то может доказать. Если мы посмотрим на какую-то модель ZFC (очень гипотетически, т.к. существование такой модели мы не можем доказать вследствие 2-й теоремы Гёделя о неполноте), то N в ней будет *элементом*, а не самой моделью. N для ZFC - это как натуральное число для PA. И в контексте теоремы Гёделя ZFC выступает в двух очень разных ролях. С одной стороны, мы используем ZFC как некий универсальный формализатор всех математических методов: мы можем формализовать в нём само доказательство теоремы Гёделя, например, используя, в частности, его видение N как всего лишь множества, одного из рассматриваемых объектов. С другой стороны, мы можем к самой ZFC применить теорему Гёделя и найти в ней недоказуемое и неопровержимое утверждение; это возможно за счёт достаточнной внутренней сложности ZFC, рассматриваемой даже как "бессмысленная" система аксиом, вне зависимости от того факта, что на самом деле это та самая ZFC, к-ю мы используем для формализации всей математики.

Прошу прощения, если слишком сумбурно вышло. Наконец, про PA/PM. Система Principa Mathematica просто слишком громоздка и устарела, ей неудобно пользоваться. Поэтому обычно пользуются PA (Peano's Arithmetics) или другими формальными теориями арифметики; док-во Гёделя работает для них практически без изменений (даже с некоторыми упрощениями). PA - это теория в формальном языке, включающем в себя константный символ 0, функциональные символы +, *, S(x) (successor function). PA включает в себя следующие аксиомы:

S(x)=S(y) => x=y
(forall x)(x!=0 <==> (exists y)(S(y)=x))) (у каждого числа, кроме 0, есть предыдущее)
x+0=x
x+S(y)=S(x+y) (рекурсивное определение сложения)
x*0=0
x*S(y)=x*y+x (рекурсивное определение сложения)

и схема индукции: для каждой формулы вида φ(x) вводится аксиома

(φ(0) and (forall x)(φ(x)=>φ(S(x)))) ===> (forall x)φ(x).