новости в теории множеств

[avva]

Прочитал очень захватывающую статью, рассказывающую о недавних результатах, полученных Вудином (Woodin) касательно гипотезы континуума в теории множеств. Статью можно сгрузить с этой страницы в английском или французском вариантах и разных форматах; вот прямая ссылка на английский вариант в формате PDF. Надо отметить, однако, что, хотя статья и не техническая, она подразумевает знакомство с аксиоматической теорией множеств хотя бы до уровня знакомства с общей идеей больших кардиналов.

Попробую пересказать в одном абзаце суть результатов Вудина. Как известно, гипотеза континуума (Continuum Hypothesis, CH) утверждает, что следующая по "размеру" бесконечность после бесконечности натуральных чисел N — бесконечность действительных чисел R. Иными словами, CH говорит, что любое бесконечное подмножество действительных чисел будет равномощно по своему размеру либо самим действительным числам, либо натуральным числам. Результаты Гёделя (1938) и Коэна (1963), взятые вместе, показывают, что CH независима от других аксиом обычной теории множеств ZFC; т.е. гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть из обычного списка аксиом ZFC (предполагая, что ZFC непротиворечива). Эти результаты оставляют открытым вопрос о возможном включении CH или ¬CH (отрицания CH) в качестве новой аксиомы в теории множеств; вопрос о целесообразности такого включения CH или ¬CH (или другой аксиомы, из которой следует CH или ¬CH) до сих пор остаётся открытым. Поиск "удобных" и "естественных" аксиом, которые позволили бы решить множество открытых в данное время или даже независимых от ZFC вопросов — значительная часть современной теории множеств. Так вот, Вудин показал глубокую связь между CH и частью теории множеств, которая занимается исследованием очень больших бесконечных множеств (настолько больших, что вряд ли возможно доказать их существование в ZFC, и обычно их существование постулируется с помощью новых аксиом, называемых аксиомами больших кардиналов) — связь, которая раньше была неизвестна, и которая доказывается Вудином при помощи очень сложного технического доказательства, которое замечательно тем, что использует одновременно несколько разных под-дисциплин теории множеств и логики (например, теорию рекурсивных множеств и теорию дескриптивных множеств), создавая исключительно захватывающее переплетение. Используя эту связь, Вудин показал (здесь сильное упрощение), что определённая "естественная" аксиома о существовании больших кардиналов доказывает, что в любой "естественной" интерпретации теории множеств CH будет ложна, и, более того, мощность континуума (мощность множества R действительных чисел) будет равна в точности алеф-2, т.е. третьей по "величине" бесконечности (алеф-0 — мощность натуральных чисел, наименьшая бесконечность; алеф-1 — следующая за алеф-0 бесконечность, и CH как раз утверждает, что мощность множества действительных чисел R равна алеф-1; "мощность" здесь и ранее — синоним слов "размер", "величина").

Более подробное описание см. в статье, в которой также есть ссылки на более технические статьи, которые я пока ещё не видел, и вряд ли смогу прочитать в ближайшее время (не все из них и доступны мне — мои знания о больших кардиналах очень поверхностны). Но всё равно очень интересно.

Comments

Re:

[avva.livejournal.com]

проблематичность "естественной" аксиомы о существовании больших кардиналов менше, чем у CH?

И да, и нет. С одной стороны, для математиков вне логики/теории множеств аксиомы о больших кардиналах - вообще бессмыслица какая-то, которая им не нужна. CH они хотя бы могут понять и оценить, хотя она им тоже не нужна практически никогда.

С другой стороны, у CH есть та фундаментальная проблема, что, собственно, непонятно, "в какую сторону решать" (если уж принимать либо CH, либо not-CH за аксиому). CH и not-CH примерно одинаково интуитивны; и за CH, и за not-CH есть разные неформальные "аргументы". Многие специалисты считают, что это означает, по сущности, что мы всё ещё не очень хорошо понимаем CH.

С аксиомами о существовании больших кардиналов пробемы нет: если их принимать, то принимать именно их, а не их отрицания. И сами такие аксиомы, и польза, которую принесёт их принятие, хорошо изучены. Важность результатов Вудина как раз в том, в частности, что они связывают вопрос CH с этой хорошо изученной технически и неплохо понятой частью теории множеств. Другой немаловажный аспект результатов Вудина -- их очевидная глубина. Глубокие и сложные результаты, связывающие разные области математики (в данном случае разные области теории множеств) обычно "создают" математику вокруг себя, сильно расширяя и перекраиваемая область понимаемого и изучаемого в данной дисциплине.

[all-ride.livejournal.com]

Спасибо, Авва, очень интересно. Интуиция, правда, подсказывает, что и мощность континуума великовата и вызывает проблемы с понятиями сходимости и предела.

Откуда не следует, что большими кардиналами не следует заниматься - у них может оказаться неожиданная интересная интерпретация. Меня гораздо сильнее впечатляет завершение теории конечных групп и все эти большие натуральные числа, которые играют в ней роль. Мы, как-то, привыкли, что осмысленные числа невелики, скажем, е, пи и ноль с единицей.

[kapahel.livejournal.com]

А вот вы за гип.к. или против (интуитивно, как было бы по-справедливости)?

>результаты, связывающие разные области математики
set theory сама по себе аутична очень, по-плохому.

Re:

[avva.livejournal.com]

Я скорее против, чем за.