новости в теории множеств
May. 19th, 2003 06:22 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПрочитал очень захватывающую статью, рассказывающую о недавних результатах, полученных Вудином (Woodin) касательно гипотезы континуума в теории множеств. Статью можно сгрузить с этой страницы в английском или французском вариантах и разных форматах; вот прямая ссылка на английский вариант в формате PDF. Надо отметить, однако, что, хотя статья и не техническая, она подразумевает знакомство с аксиоматической теорией множеств хотя бы до уровня знакомства с общей идеей больших кардиналов.
Попробую пересказать в одном абзаце суть результатов Вудина. Как известно, гипотеза континуума (Continuum Hypothesis, CH) утверждает, что следующая по "размеру" бесконечность после бесконечности натуральных чисел N — бесконечность действительных чисел R. Иными словами, CH говорит, что любое бесконечное подмножество действительных чисел будет равномощно по своему размеру либо самим действительным числам, либо натуральным числам. Результаты Гёделя (1938) и Коэна (1963), взятые вместе, показывают, что CH независима от других аксиом обычной теории множеств ZFC; т.е. гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть из обычного списка аксиом ZFC (предполагая, что ZFC непротиворечива). Эти результаты оставляют открытым вопрос о возможном включении CH или ¬CH (отрицания CH) в качестве новой аксиомы в теории множеств; вопрос о целесообразности такого включения CH или ¬CH (или другой аксиомы, из которой следует CH или ¬CH) до сих пор остаётся открытым. Поиск "удобных" и "естественных" аксиом, которые позволили бы решить множество открытых в данное время или даже независимых от ZFC вопросов — значительная часть современной теории множеств. Так вот, Вудин показал глубокую связь между CH и частью теории множеств, которая занимается исследованием очень больших бесконечных множеств (настолько больших, что вряд ли возможно доказать их существование в ZFC, и обычно их существование постулируется с помощью новых аксиом, называемых аксиомами больших кардиналов) — связь, которая раньше была неизвестна, и которая доказывается Вудином при помощи очень сложного технического доказательства, которое замечательно тем, что использует одновременно несколько разных под-дисциплин теории множеств и логики (например, теорию рекурсивных множеств и теорию дескриптивных множеств), создавая исключительно захватывающее переплетение. Используя эту связь, Вудин показал (здесь сильное упрощение), что определённая "естественная" аксиома о существовании больших кардиналов доказывает, что в любой "естественной" интерпретации теории множеств CH будет ложна, и, более того, мощность континуума (мощность множества R действительных чисел) будет равна в точности алеф-2, т.е. третьей по "величине" бесконечности (алеф-0 — мощность натуральных чисел, наименьшая бесконечность; алеф-1 — следующая за алеф-0 бесконечность, и CH как раз утверждает, что мощность множества действительных чисел R равна алеф-1; "мощность" здесь и ранее — синоним слов "размер", "величина").
Более подробное описание см. в статье, в которой также есть ссылки на более технические статьи, которые я пока ещё не видел, и вряд ли смогу прочитать в ближайшее время (не все из них и доступны мне — мои знания о больших кардиналах очень поверхностны). Но всё равно очень интересно.
Попробую пересказать в одном абзаце суть результатов Вудина. Как известно, гипотеза континуума (Continuum Hypothesis, CH) утверждает, что следующая по "размеру" бесконечность после бесконечности натуральных чисел N — бесконечность действительных чисел R. Иными словами, CH говорит, что любое бесконечное подмножество действительных чисел будет равномощно по своему размеру либо самим действительным числам, либо натуральным числам. Результаты Гёделя (1938) и Коэна (1963), взятые вместе, показывают, что CH независима от других аксиом обычной теории множеств ZFC; т.е. гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть из обычного списка аксиом ZFC (предполагая, что ZFC непротиворечива). Эти результаты оставляют открытым вопрос о возможном включении CH или ¬CH (отрицания CH) в качестве новой аксиомы в теории множеств; вопрос о целесообразности такого включения CH или ¬CH (или другой аксиомы, из которой следует CH или ¬CH) до сих пор остаётся открытым. Поиск "удобных" и "естественных" аксиом, которые позволили бы решить множество открытых в данное время или даже независимых от ZFC вопросов — значительная часть современной теории множеств. Так вот, Вудин показал глубокую связь между CH и частью теории множеств, которая занимается исследованием очень больших бесконечных множеств (настолько больших, что вряд ли возможно доказать их существование в ZFC, и обычно их существование постулируется с помощью новых аксиом, называемых аксиомами больших кардиналов) — связь, которая раньше была неизвестна, и которая доказывается Вудином при помощи очень сложного технического доказательства, которое замечательно тем, что использует одновременно несколько разных под-дисциплин теории множеств и логики (например, теорию рекурсивных множеств и теорию дескриптивных множеств), создавая исключительно захватывающее переплетение. Используя эту связь, Вудин показал (здесь сильное упрощение), что определённая "естественная" аксиома о существовании больших кардиналов доказывает, что в любой "естественной" интерпретации теории множеств CH будет ложна, и, более того, мощность континуума (мощность множества R действительных чисел) будет равна в точности алеф-2, т.е. третьей по "величине" бесконечности (алеф-0 — мощность натуральных чисел, наименьшая бесконечность; алеф-1 — следующая за алеф-0 бесконечность, и CH как раз утверждает, что мощность множества действительных чисел R равна алеф-1; "мощность" здесь и ранее — синоним слов "размер", "величина").
Более подробное описание см. в статье, в которой также есть ссылки на более технические статьи, которые я пока ещё не видел, и вряд ли смогу прочитать в ближайшее время (не все из них и доступны мне — мои знания о больших кардиналах очень поверхностны). Но всё равно очень интересно.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2003-05-19 12:16 pm (UTC)no subject
Date: 2003-05-19 03:16 pm (UTC)Предположим, у нас есть некий набор аксиом T, и ещё одна аксиома X. Нас интересует статус независимости X от аксиом в Т (например, в случаe CH X будет CH, а T будет теория множеств ZFC). Может получиться так, что существует доказательство X из T; тогда X - лишняя, ненужная аксиома, оне не независима от T. Может получиться так, что существует опровержение X из Т (т.е. доказательство не-X); тогда X вообще очень неудачная аксиома, т.к. вкупе с T она даёт неконсистентную теорию (к-я доказывает X и не-X).
Если ни то, ни другое не верно, мы говорим, что X независима от T.
Но как эту независимость доказать? Самый обычный способ - построением моделей (интерпретаций). Предположим, нам удалось построить интерпретацию ZFC (т.е. некую коллекцию объектов, которые являются "множествами", плюс заданное соотношение принадлежности между ними, определяющее, какое "множество" является членом какого -- и, кроме того, мы доказали, что эти объекты с этим заданным отношением принадлежности выполняют все аксиомы ZFC), в которой CH неверна. Тогда из этого следует, что CH невозможно доказать в ZFC (если аксиомы теории T верны в какой-то модели, то и всё, что можно из них доказать, тоже верно в этой модели). Если мы теперь ещё построим другую модель ZFC, в которой CH верна, значит, и опровергнуть CH из ZFC тоже невозможно, и, следовательно, CH независима от ZFC.
В 30-х годах Гёдель проделал половину работы. Он определил модель L (я здесь опускаю всякие технические сложности, связанные с тем, что это не совсем модель. Это коллекция множеств, выполняющих нужные аксиомы, но сама эта коллекция, сам "мир" модели - не множество, он слишком большой), которую можно назвать миром "определимых" множеств в некотором техническом смысле. L включает в себя только те множества, которые она "никак не может не включать". Благодаря этой экономности L ведёт себя очень "хорошо": в частности, в ней выполняется CH. Из этого следует, что CH невозможно опровергнуть в ZFC.
Построить модель ZFC, в которой CH была бы неверна, оказалось делом намного более сложным. Метод форсинга, который придумал Коэн, позволяет, начав с какой-то определённой модели ZFC, необязательно выполняющей то, что нам нужно, добавлять в неё дополнительные члены согласно заранее определённому плану, позволяющему заставить (to force) получающуюся модель-расширение выполнять нужные нам свойства. Естественно, не для всех свойств такое возможно или известно, как сделать, но для многих это оказывается возможным; и именно с помощью этого метода Коэн построил модель-расширение, в которой не выполняется CH.
Fine structure - мощный метод более подробного изучения таких моделей, как L, описанная выше, и её вариантов. Его придумал Jensen, если не ошибаюсь. Я его недостаточно хорошо понимаю, чтобы смочь объяснить в нескольких предложениях ;)