теоремы силова

[avva]

Вот ещё одну странную чёрную дыру обнаружил у себя в голове: в том месте, где должны храниться доказательства теорем Силова (это в теории групп). А они там не хранятся, а медленно улетучиваются, пока я в очередной раз не обнаруживаю, что забыл, хотя казалось бы, всё же просто. Вот и сейчас попытался вспомнить... помню только, что нужно заставить группу действовать умножением на семью всех подмножеств размером pⁿ, а потом орбиты считать... но что-то не вытанцовывается. Пойду подсмотрю где-нибудь.

Comments

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Пусть G - p-группа. Число циклов длины р в ней, согласно доказанному =1 (mod p). Пусть группа действует на них сопряжением, тогда размеры орбит - степени p и поэтому должна быть хотя бы одна орбита размером 1, т.е. G имеет нормальную подгруппу размером p. Требуемый результат доказывается индукцией переходом к фактор-группе. Другое интересное следствие - ни одна группа размером p^n, n>1 не является простой.

Поправка.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Переход к фактор-группе работает, если подгруппа содержит нормальный цикл. Если нет, то просто берем произведения элементов подгруппы на элементы цикла.

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Аналогично тому, как мы доказали существование в р-группе нормального цикла длиной p, доказывается, что p-группа имеет нормальную подгруппу Силова любого размера. Отсюда вытекает, что все p-группы разрешимы.

[ignat.livejournal.com]

На самом деле, все конечные p-группы даже нильпотентны.