невыносимая красота комплексного анализа

[avva]

На рассылке FOM зашла речь о различиях между философией математики и философским подходом к основаниям математики, т.е. тому, что называется foundations (теория множеств, логика, аксиоматизация математики, итд. итп.). В частности, возник такой вопрос:

> we are still waiting for someone to present an example of a piece of
> non-foundational mathematics that is of philosophical interest.

На что Билл Тейлор ответил вот как, довольно интересно, по-моему (цитирую часть ответа):

It is: complex variables, why is it so incredibly, *unexpectedly* tidy?


There are so many incredibly good things that occur in complex calculus,
things that you *want* to be true in real analysis but never are, fully.
But in complex analysis they almost always turn out to be true, with
*no exceptions*. Everything is beautifully compact and tidy, and free
of loose ends. Or so it seemed to me, when I first learned it, and still.

But why? The originators and early explorers could have had no idea it
would work out so well. They must have been overwhelmed at how well
everything from real analysis transferred - transferred better than
it was before, better than they, we, had any right to have hoped for.

Is this not a fit question for math philosophy?

Не уверен, что с исторической точки зрения это верно - многие из "красивых" результатов были, кажется, впервые получены в комплексном анализе, а потом переведены в свои менее совершенные аналоги в действительных числах. Но тем не менее: имеет ли вообще такой вопрос право на (философское) существование? Есть ли тут о чём говорить, кроме очевидного факта удобства алгебграической замкнутости C — хватает ли её, чтобы 'объяснить' (не очень даже понятно, что значит это 'объяснить') действительно поражающие воображение чистоту и удобство большой части комплексного анализа, по сравнению с действительным?

Comments

[7th-breath.livejournal.com]

трансцендентность числа Пи свидетельствует о равнодушии Бога к математике.
===========
А условия Коши - жесткая штука. Отсюда и красота.

по касательной

[ipain.livejournal.com]

ууу... обожаю комплексный анализ... мой преп, читая многомерную тфкп говорил: знаете, почему в нашем мире все так плохо? потому что мы живем на границе комплексного конуса, расположенного в С2, и многие функции теряют аналитичность....
(из недавнего диалога в аське)

[malaya-zemlya.livejournal.com]

> we are still waiting for someone to present an example of a piece of
> non-foundational mathematics that is of philosophical interest.

Тут я согласен с Джоном Бэезом, философам надо иногда учить математику, изобретенную после 20-х годов прошлого столетия. Чисто навскидку: теория категорий, теория игр, теория алгоритмов (то же Чайтинское число Омега)... да что уж там, простая линейная алгебра имеет самое непосредственное отношение к философии ибо лежит в основе квантовой механики.
А если уж вспоминать, что философы сделаны не из тонкого эфира, а, как и все остальные люди, из мяса, костей и прочих физических составляющих, то даже тяжело найти часть математики, не имеющей совсем никакого философского интереса.

Да, я согласен с предыдущим оратором: большая часть красоты комплексного анализ происходит из-за неимоверной жесткости условий Коши. Даже, если вдуматься, алгебраическая замкнутость - обычно она ведь тоже доказывается аналитически.

вопрос: замкнутость C

[(Anonymous)]

По поводу алгебраической замкнутости (существование корня у любого многочлена) -- это вопрос, который всегда меня интересовал. Почему, собственно, этот алгебраический факт можно доказать только привлечением того или другого анаитического метода? Насколько мне известно, чисто алгебраического док-ва не существует в принципе. Или он не такой уж "алгебраический", как кажется?

Re: вопрос: замкнутость C

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Полностью алгебраическое доказательство невозможно, поскольку множество действительных чисел не может быть определено алгебраически. Исходя из двух легко доказываемых свойств действительных чисел: любое положительное число имеет квадратный корень, и любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень, можно алгебраически получить замкнутость C.

[ppetya.livejournal.com]

Вы, на самом деле, как мне кажется, несколько путаете (в названии) комплексный анализ и алгебраическую геометрию. Для алгебраической геометрии хватит замкнутости и характеристики ноль. Видимая причина многих красивостей в том, что комплексная гиперповерхность не разделяет точек.

Настоящий комплексный анализ -- это очень трудная штука и направлен совсем в другую сторону, чем то, что называется "вещественным анализом".

[akor168.livejournal.com]

Да, да, и еще раз да!

Я всегда считал, что комплексный анализ - это что-то на грани мистики. Это, пожалуй, самый красивый раздел математики вообще. Один из наиболее интересных феноменов - это то, что "хорошие" функции определяются множеством своих критических точек, то есть, другими словами, имеет смысл смотреть не туда где хорошо, а туда где плохо, и поняв это плохо, понимаешь все.

Интересно, что, насколько я представляю, в других дисциплинах данный подход - изучим плохое, а попутно поймем хорошее, только начинает применяться, и, к сожалению, соответствующую теорию в университетах не преподают даже на аспирантском уровне. Впрочем, преподавание и классического одномерного анализа - из рук вон плохо: дают элементарщину и ничего более. Про многие комплексные переменные я вообще молчу: знание теории C^n, по-моему, не входит ни в один из стандартных наборов.

[akor168.livejournal.com]

Наверное, имеется ввиду одномерный случай. Теория же многих переменных намного запутанее, это даже мне известно.

Кстати, не сочтите за невежливость, не могли бы вы уточнить, что вы имеете ввиду под настоящим комплексным анализом. Алгебраическую ли геометрию или вопросы аналитического характера? Просто интересно, в каком направлении народ копает. Есть ли "легкоформулируемые" открытые проблемы? И вообще - насколько это перспективно.

[ppetya.livejournal.com]

1. Мало знаю.

2. Я бы имел ввиду именно простую алгебраическую геометрию. Одномерный комплексный анализ тоже очень тяжелый -- как растут функции, как у них, в зависимости от роста распределены нули.. итд.. вот задача о нулях дзета-функции так и стоит.

3. Под настоящим -- конечно вопросы аналитического характера, всякие области голоморфности.. Про перспективность не знаю ничего, издалека комплексный анализ кажется неисчерпаемым, будут ли яркие результаты, всем понятные по формулировкам -- такого предсказания сделать не могу. Был хороший когда-то обзор Чирки (кажется) в УМН, про CR-геометрию.

[akor168.livejournal.com]

Ну вопрос об нулях дзета-функции - это уже "арифметика" :-)). В этом аспекте даже в случае с полиномами задача не решена (по причине того, что ее попросту бросили решать).

А современная алгебраическая геометрия - наука мутная какая-то. По-моему, "tiphareth" как-то упомянул, что половина публикуемых результатов в этой области попросту неверна. Меня это здорово "воодушевило" - априори как-то была вера, что все что напечатано - верно, и можно без боязни пользоваться, а тут вона-как.

Забавно, что я как раз подхожу к рубежу, когда эти вещи становятся не совсем китайской грамотой, но как видно - не все коту масленица.

Re: вопрос: замкнутость C

[flaass.livejournal.com]

Есть очень наглядное доказательство. Не знаю, насколько трудно его записать совсем строго, но понять легко, и картинки возникают красивые.
Смотрим на кривульки на комплексной плоскости, заданные уравнениями
Re f(z)=0 и Im f(z)=0. Очень далеко от нуля они ведут себя примерно как те же кривульки для z^n=0, значит, каждая из них имеет 2n концов, уходящих в бесконечность, причем концы эти по кругу чередуются.
Но концы должны быть попарно соединены. И остается простая комбинаторная задачка: что как бы их попарно ни соединить, какие-нибудь две линии обязательно пересекутся.

non-foundational mathematics that is of philosophical interest

[romanycz.livejournal.com]

> we are still waiting for someone to present an example of a piece of
> non-foundational mathematics that is of philosophical interest.

Я не служат ли тем самым примером многочисленные статьи (да и монографии) о "quantum realm", квантовой логике, логике микромира? Математический-то аппарат для них довольно незатейлив, и уж никак не foundational, а именно, теория ортомодулярных частично упорядоченных множеств.

Может Пифагор виноват?

[abys.livejournal.com]

Мне представляется, что этот вопрос не из области математики.
Комплексный анализ поражает воображение. Алгебра замкнута, Коши выстроил безупречно логичную конструкцию. Но все равно остается ощущение чего-то волшебного.
Может, дело в том, что мы несколько по особому относимся к действительным числам, в глубине души считаем реальный анализ отражением (если не тождеством) реального мира? И вот, вместо вычисления интеграла от реальной во всех смыслах функции, нам предлагают все-навсего вычислить вычет. Подсознательно это воспринимается не иначе как божественное откровение. А как иначе наш реальный мир может быть частью более общего, простого и логичного "нереального".
Комплексный анализ предлагает "волновую" модель мира; не в терминах кординаты и импульса, а в терминах фазы и амплитуды. И предлагает во многих случаях более физически адекватную трактовку понятий точка, линия, плоскость. И, кстати, когда мы решаем волновые задачи или пишем 4-векторы в теории относительности, применением комплексного анализа кажется интуитивно более, чем естесственным.
Но, как видно, тождество "реальный мир= реальные числа" сидит где-то глубоко в подкорке

[flaass.livejournal.com]

Сразу приходят в голову "теория катастроф" Рене Тома, хаос и динамические системы, ну и, конечно, фрактали.
Но все это, скорее, отрицательные примеры. Философы падки на красивые названия. Почитав полуграмотные научно-популярные пересказы, они решили, что поняли суть идей, и начали их активно эксплуатировать.
Такая же печальная судьба, как у теории эволюции и теории относительности.

[ignat.livejournal.com]

> we are still waiting for someone to present an example of a piece of
> non-foundational mathematics that is of philosophical interest.


Да что вы, честное слово! Практически вся математика поразительно, потрясающе, необъяснимо загадочна и удивительна, что не может не наводить на чисто философский вопрос: "почему так?".

1.
Взять хотя бы классификацию простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль (или односвязных групп Ли над С):
4 бесконечные серии: A_n, B_n, C_n, D_n
и 5 стоящих отдельно особых алгебр: E_6, E_7, E_8, F_4 и G_2.

o---o---o-- ... --o---o  A_n

o---o---o-- ... --o==>o  B_n

o---o---o-- ... --o<==o  C_n

                    o
                   /
o---o---o-- ... --o      D_n
                   \
                    o


o---o---o---o---o           E_6
        |
        o 

o---o---o---o---o---o       E_7
        |
        o 

o---o---o---o---o---o---o   E_8
        |
        o 

o---o==>o---o               F_4

o=3=>o                      G_2 

Мы задались вопросом, как выглядят кирпичики, из которых состоит каждая гладкая группа без дыр, и получили в ответ вот этот набор из причудливо выглядящих графов. Вот так устроена реальность! Ничего с этим поделать мы не можем. Самое удивительное, что эти же объекты появляются в далёких от групп Ли областях -- в теории особенностей, например. И никакой непосредственной связи не видно. Просто совпадают классификации и всё тут. (В теории особенностей -- только A-D-E графы; B,C,F,G в теории групп Ли тоже немного вторичны -- их можно получить как подгруппы неподвижных точек внешних автоморфизмов групп A-D-E.) Остаётся только вопрошать, почему реальность именно такова и пытаться ответить на него из каких-то иных, внематематических, а стало быть, философских, позиций.

2.
Похожим образом, загадочной является классификация простых конечных групп, где наряду с бесконечными сериями возникают 26 спорадических групп, "стоящих отдельно".

3.
Для неспециалистов будет понятнее похожий феномен классификации правильных многогранников, где существуют три бесконечные серии, имеющие представителя в каждой размерности: тетраэдр, куб и октаэдр, и лишь конечное число правильных многогранников, не входящих в эти серии. В размерности три это икосаэдр и додекаэдр, в размерности 4 есть три многогранника, и в размерности 5 два. (Также есть серия правильных многоугольников в размерности 2.) Это явление вызывало интерес ещё древнегреческих философов, средневековых схоластов, и продолжает волновать умы и по сей день.

4.
В теории чисел: каково множество тех значений n, для которых кольцо целых чисел в поле Q(sqrt(n)) -- евклидово, то есть, существует аналог алгоритма Евклида? Ответ: вот эти загадочные числа и только они:

-11, -7, -3, -2, -1,
2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

Можно также задаться вопросом, а для каких отрицательных n в кольце целых поля Q(sqrt(n)) имеет место однозначность разложения на множители, как в Z? Оказывается, только в следующих 9 случаях:
n = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163

ПОЧЕМУ ЭТИ ЧИСЛА ОСОБЕННЫЕ???

5.
Известный результат Фридмана-Дональдсона о гладких структурах на R^n. Возьмём обычное евклидово пространство R^n. В нём есть понятие близости точек (топология), линейная структура (можно складывать векторы), и есть их комбинация -- дифференцируемая структура (можно брать производные функций). Если рассмотреть только стандартную топологию в R^n и задаться вопросом, а сколько существует принципиально различных (не диффеоморфных друг другу) дифференцируемых структур, допустимых на этой топологии, то окажется, что для всех значений n, кроме одного, ответ будет: единственная! Но для одного какого-то n ответ будет: бесконечно много! Каково же это особенное значение n? Как ни странно это звучит, но это n равно 4. Почему, отчего четвёрка оказалась особой среди всех чисел??? Ответ могут дать только философы, которые однако, понимают эту математику, да и не только эту, а всю, необходимую для того, чтобы осмыслить этот результат.

(продолжение)

[ignat.livejournal.com]

6.
А периодичность Ботта для ортогональных групп? Оказывается, что для групп движений нашего евклидова пространства R^n особую роль играет число 8 (!)

7.
Про фракталы уже писали. Но всё же -- почему такой простой закон, задающий правило принадлежности к множеству Мандельброта:
z ---> z^2 + c
порождает неисчерпаемое по сложности и эстетической глубине объект?

Куда ни ткни -- везде загадка, которая заставляет нас задуматься о философской стороне бытия и мироздания.

Re: (продолжение)

[akor168.livejournal.com]

Неплохая подборка!