невыносимая красота комплексного анализа

[avva]

На рассылке FOM зашла речь о различиях между философией математики и философским подходом к основаниям математики, т.е. тому, что называется foundations (теория множеств, логика, аксиоматизация математики, итд. итп.). В частности, возник такой вопрос:

> we are still waiting for someone to present an example of a piece of
> non-foundational mathematics that is of philosophical interest.

На что Билл Тейлор ответил вот как, довольно интересно, по-моему (цитирую часть ответа):

It is: complex variables, why is it so incredibly, *unexpectedly* tidy?


There are so many incredibly good things that occur in complex calculus,
things that you *want* to be true in real analysis but never are, fully.
But in complex analysis they almost always turn out to be true, with
*no exceptions*. Everything is beautifully compact and tidy, and free
of loose ends. Or so it seemed to me, when I first learned it, and still.

But why? The originators and early explorers could have had no idea it
would work out so well. They must have been overwhelmed at how well
everything from real analysis transferred - transferred better than
it was before, better than they, we, had any right to have hoped for.

Is this not a fit question for math philosophy?

Не уверен, что с исторической точки зрения это верно - многие из "красивых" результатов были, кажется, впервые получены в комплексном анализе, а потом переведены в свои менее совершенные аналоги в действительных числах. Но тем не менее: имеет ли вообще такой вопрос право на (философское) существование? Есть ли тут о чём говорить, кроме очевидного факта удобства алгебграической замкнутости C — хватает ли её, чтобы 'объяснить' (не очень даже понятно, что значит это 'объяснить') действительно поражающие воображение чистоту и удобство большой части комплексного анализа, по сравнению с действительным?

Comments

вопрос: замкнутость C

[(Anonymous)]

По поводу алгебраической замкнутости (существование корня у любого многочлена) -- это вопрос, который всегда меня интересовал. Почему, собственно, этот алгебраический факт можно доказать только привлечением того или другого анаитического метода? Насколько мне известно, чисто алгебраического док-ва не существует в принципе. Или он не такой уж "алгебраический", как кажется?

Re: вопрос: замкнутость C

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Полностью алгебраическое доказательство невозможно, поскольку множество действительных чисел не может быть определено алгебраически. Исходя из двух легко доказываемых свойств действительных чисел: любое положительное число имеет квадратный корень, и любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень, можно алгебраически получить замкнутость C.

Re: вопрос: замкнутость C

[flaass.livejournal.com]

Есть очень наглядное доказательство. Не знаю, насколько трудно его записать совсем строго, но понять легко, и картинки возникают красивые.
Смотрим на кривульки на комплексной плоскости, заданные уравнениями
Re f(z)=0 и Im f(z)=0. Очень далеко от нуля они ведут себя примерно как те же кривульки для z^n=0, значит, каждая из них имеет 2n концов, уходящих в бесконечность, причем концы эти по кругу чередуются.
Но концы должны быть попарно соединены. И остается простая комбинаторная задачка: что как бы их попарно ни соединить, какие-нибудь две линии обязательно пересекутся.