две математические задачки

[avva]

Обе примерно на уровне знакомства с рациональными и иррациональными числами и доказательства Кантора о несчётности действительных чисел. Первая попроще, вторая чуть посложнее.

Пусть s₁, s₂, s₃, ... — какое-то перечисление всех рациональных чисел в [0,1], а 0.a_i,1 a_i,2 a_i,3... — десятичное представление числа s_i. Мы можем построить бесконечную матрицу (a_i,j), в которой каждая строка является десятичным представлением числа s_i.

1) Доказать, что если в этой матрице начать с любого элемента a_i,j и идти вниз по диагонали: 0.a_i,j a_i+1,j+1 a_i+2,j+2... то получится десятичное представление иррационального числа.

2) Доказать, что существует такое перечисление s₁, s₂, s₃, ... , при котором в матрице (a_i,j) все столбцы (т.е. 0.a_1,j a_2,j a_3,j... для любого j) являются десятичными представлениями рациональных чисел.