две математические задачки

[avva]

Обе примерно на уровне знакомства с рациональными и иррациональными числами и доказательства Кантора о несчётности действительных чисел. Первая попроще, вторая чуть посложнее.

Пусть s₁, s₂, s₃, ... — какое-то перечисление всех рациональных чисел в [0,1], а 0.a_i,1 a_i,2 a_i,3... — десятичное представление числа s_i. Мы можем построить бесконечную матрицу (a_i,j), в которой каждая строка является десятичным представлением числа s_i.

1) Доказать, что если в этой матрице начать с любого элемента a_i,j и идти вниз по диагонали: 0.a_i,j a_i+1,j+1 a_i+2,j+2... то получится десятичное представление иррационального числа.

2) Доказать, что существует такое перечисление s₁, s₂, s₃, ... , при котором в матрице (a_i,j) все столбцы (т.е. 0.a_1,j a_2,j a_3,j... для любого j) являются десятичными представлениями рациональных чисел.

Comments

[flaass.livejournal.com]

А первая остается верной в двоичной системе?

[avva.livejournal.com]

Нет, именно что только в двоичной системе (необязательно) верна, а во всех остальных работает.

[flaass.livejournal.com]

Угу. То есть есть над чем подумать: верно ли первое утверждение в двоичной системе, или можно таки придумать перечисление с рациональной диагональю?

[avva.livejournal.com]

Я имел в виду, что в двоичной системе необязательно верна для заранее заданного перечисления. Довольно легко придумать перечисление, в котором диагональ точно рациональна (с периодом (1) ).

[flaass.livejournal.com]

Угу, действительно легко.
Причем интересно, что сразу становится невозможным, если
1) захотеть любой другой период, кроме (0); или
2) искать такое перечисление не для рациональных чисел, а для бесконечных двоичных дробей, представляющих рациональные числа (т.е. напр. и .01000..., и .00111... должны появиться).