несколько парадоксов

[avva]

На этой довольно полезной странице (англ.) вкратце описаны самые знаменитые логические парадоксы, плюс несколько относительно малоизвестных. В частности, первые два парадокса оттуда мне раньше не встречались. Вот они в переводе на русский язык, и вместе с ними я опишу ещё один современный парадокс, парадок Ябло (Yablo), весьма интересный (на странице, пролинкованной выше, его нет).

• Парадокс предисловия. Часто бывает так, что автор книги извиняется перед читателями, в предисловии, за любые допущенные ошибки. Если, к примеру, это не первая книга автора, то он на своём опыте хорошо знает, что полностью избежать ошибок невозможно, и где-нибудь какое-нибудь утверждение в книге окажется неверным. Поэтому извиниться заранее — вполне рациональное поведение с его точки зрения. С другой стороны, каждое утверждение в книге было сформулировано автором потому, в частности, что он считал его истинным [мы предполагаем, что автор не врёт специально, и не утверждает того, в чём не уверен]. Но выходит тогда, что убеждения автора содержат противоречие: он считает все утверждения в тексте истинными, и одновременно уверен, что как минимум одно из них ложно.
  
  
• Парадокс токсина Кавки (по имени философа, который описал этот парадокс). Представьте себе, что некий эксцентричный богач обратился к вам со следующим предложением. Он даст вам ампулу с токсической жидкостью; если вы выпьете эту ампулу, то будете очень плохо себя чувстовать в течение одного дня, но потом всё пройдёт и никаких долгосрочных последствий не будет. Богач заплатит вам миллион долларов, если сегодня в полночь вы будете собираться выпить ампулу с токсином завтра после обеда. Деньги вы получаете именно за намерение; если вы потом передумаете и всё же не будете пить токсин завтра, то деньги у вас всё равно останутся. Богача не интересует, выпьете вы токсин или не выпьете, ему нужно только, чтобы сегодня в полночь вы намеревались выпить его завтра.
  
  Из этого следует, конечно, что после того, как вы получите миллион долларов за намерение выпить токсин, вы не будете на следующий день пить его — зачем? Но если вы это понимаете заранее, как вы можете сегодня в полночь намереваться выпить токсин, если вы знаете, что завтра этого не сделаете? Есть ли у вас вообще возможность получить деньги богача?
  
  
• Парадокс Ябло. Важность этого парадокса в том, что, хотя он похож на парадокс лжеца и разные его варианты, этот парадокс, по крайней мере на первый взгляд, избегает автореферентности (self-reference). Правда, многие считают, что это только на первый взгляд, и автореферентность хитро "спрятана" внутри парадокса. Философы продолжают спорить на эту тему.
  
  Возьмём бесконечное число утверждений (каких именно, сейчас скажем) и пронумеруем их: S₀, S₁, ..., S_k, ... и так до бесконечности. Здесь S_k обозначает утверждение номер k. Теперь о том, что они собственно утверждают: S_k утверждает "все S_n, для n>k, ложны". То есть, например, S₀ утверждает, что все утверждения начиная с S₁ и дальше ложны, а S₁₇ говорит, что ложны S₁₈, S₁₉ и так далее до бесконечности. В частности, обратите особое внимание на тот факт, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности, даже косвенным способом, т.к. оно утверждает что-то лишь об утверждениях с большими номерами, и для всех них это тоже верно.
  
  Возьмём любое утверждение S_k. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда S_k+1, S_k+2 итд. все ложны. Но ложность S_k+2, S_k+3, итд. — как раз то, что утверждает S_k+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны S_k+1 ложно (прямое следствие истинности S_k), с другой стороны истинно (прямо следствие ложности S_k+2, S_k+3, итд). Раз мы достигли противоречия, значит, наше предположение было неверным, и S_k на самом деле ложно. Причём это верно для любого k.
  
  В частности, ложны S₁, S₂, итд. до бесконечности. Но это как раз то, что утверждает S₀, поэтому S₀ истинно. Но мы уже доказали, что S₀ ложно, как и любое другое S_k. Получаем противоречие и парадокс.

Comments

[zhenyach.livejournal.com]

Один мой друг однажды обратил внимание на "Правила пользования московским метрополитеном":

1. Пассажиры обязаны выполнять правила пользования метрополитеном.
2. [что-то по существу]...
...

Как доказать, что правило номер один выполняется?

[sabalin.livejournal.com]

Доказательством нарушения любого другого правила.
Подобный пункт есть во всех документах подобного рода. Например в УК и ГК

[zhenyach.livejournal.com]

Это если б в правиле 1 было написано "надлежит выполнять правила 2..N", то да.

[sabalin.livejournal.com]

Не понимаю в чем разница...
"правила ползования метрополитэном" есть коллективное название пунктов 1...N плюс любых дополнительных инструкций которые быдыт туда добавлены...