ещё немного философии (англ.)
May. 12th, 2004 12:15 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЕщё несколько философских по направлению статей, показавшихся мне интересными, и найденных в недавних архивах Online Papers in Philosophy (статья об идентичных частицах тоже была оттуда).
- Panu Raatikainen, On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems. Очень неплохой краткий обзор разных взглядов на философское значение теорем Гёделя о неполноте. В том числе отлично объясняется главная ошибка в аргументах а-ля Пенроуз (использующих теорему Гёделя для того, чтобы “доказать”, что человеческое сознание не может быть адекватно описано формальной системой или машиной Тьюринга).
- Michael Janssen, Relativity. Обзор истории возникновения и развития специальной и общей теорий относительности. Не для физиков! Написан простым языком для неспециалистов, но старается не упрощать всё до тривиальности. Это пример статьи в готовящемся к печати новом словаре истории идей: New Dictionary of the History of Ideas, тоже очень интересном проекте.
- John Gregg, Language and Meaning. Небольшое эссе о философии языка, которое убедительно, на мой взгляд, критикует точку зрения Патнэма в его известной метафоре про Twin Earth:
Twin Earth is just like our Earth, perhaps even including a twin me and a twin you, with one exception: on Twin Earth, the substance that they call "water", while drinkable, odorless, transparent, and in all other "superficial" ways identical to our water, is really not made of HO. It is instead made of some other chemical compound, that Putnam abbreviates as XYZ. The question that presents itself immediately, of course, is whether or not XYZ is really water.
Точка зрения Грегга мне кажется куда более убедительной, чем мнение Патнэма. Но пытаться пересказывать её я уже не буду — желающие могут прочитать это небольшое эссе, в котором есть также другой интересный пример трудностей, которые испытывает строгий позитивизм а-ля Патнэм с понятием значения — пример, в котором участвует Супермен.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2004-05-11 02:43 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-11 03:01 pm (UTC)С другой строны, я не перестаю удивляться тому, что в теоремах математической логики по-прежнему ищут глубокий философский смысл, и по-прежнему считают вопросы оснований актуальными. Теорема Геделя - элегантный результат теории моделей, как хорошо видно из замечательного доказательства Крипке, о которым вы нам поведали. Тоже самое можно сказать и о теореме Коэна.
Неадкватность формальных систем по отношению к математической интуиции продемонстрировала уже теорема Левенгейма-Сколема, согласно которой у арифметики есть несчетные модели, а у теории множеств - счетные. Ее очень простое доказательство ясно показывает, в чем суть дела. Теоремы Геделя, Коэна, Харрингтона-Кирби-Париса, - элегантные иллюстрации этого явления, не более того. На сегодняшний день, как мне кажется, результаты Фридмана (и даже Харрингтона-Кирби-Париса) заслуживают гораздо большего внимания, чем результаты Геделя.
Почему-то философы так и остались в 30-х годах прошлого века.
no subject
Date: 2004-05-11 04:14 pm (UTC)Не уверен, что правильно понимаю Ваше возражение. Если я его правильно понимаю, оно мне кажется неверным и вот почему. Мы (люди) видим интуитивно истинность всех аксиом арифметики первого порядка; и в частности, видим, что эта формальная система непротиворечива. Но и истинность Гёделева предложения для этой формальной системы мы тоже видим, так что никакого противоречия нет. Аргумент Пенроуза покоится не на нашем отношении к формальной системе арифметики; он покоится на нашем отношении к формальной системе, которая заключает в себе нас самих, а эта система, очевидно, богаче арифметики. Если есть теория T, которая формализует наши способы рассуждения, то у этой теории есть Гёделево утверждение G, которое должно быть недоказуемо в T; но мы интуитивно видим его истинность (как и истинность любого Гёделева утверждения). Это аргумент Пенроуза. Критика автора данной статьи: на самом деле мы видим истинность утверждения "если T непротиворечива, то G истинна", а не истинность G. В обычном доказательстве для арифметики, особенно в простых его изложениях, мы часто опускаем гипотезу о непротиворечивости T, потому что в случае арифметики она нам очевидна. Однако формализация доказательства внутри T (например, чтобы доказать вторую теорему) требует этой гипотезы: T, естественно, не доказывает G, но с лёгкостью доказывает Cons(T)->G, даже точнее Cons(T)<->G. Так и "мы", если предположить, что T формализует наше мышление, не видим интуитивно истинности G вопреки Пенроузу, а видим только истинность Cons(T)<->G, в полном соответствии с доказуемостью этого утверждения внутри T. Мы могли бы заключить нечто большее, чем Т, только если бы мы интуитивно видели непротиворечивость нашего мышления (а не просто арифметики, которая является всего лишь частью нашего мышления), но действительно ли мы его видим интуитивно? Судя по всему, нет.
Но если я неправильно понял Ваше возражение, объясните подробнее.
no subject
Date: 2004-05-11 05:23 pm (UTC)В вашем изложении присутствует неопределенная теория Т, "формализующая наше мышления". Смысл фразы в кавычках совсем не ясен. Очевидно, если мы возьмем все наше мышление, оно противоречиво и, в сочетании с правилами формальной логики, Т необходимо содержит все утверждения. Т.е. Т тривиальна, и никаких выводов, рассуждая о Т, сделать нельзя.
Так что речь должна идти о какой-то серьезно ограниченной теории Т. Как минимум, теория Т должна касаться только математических утверждений и методов рассуждения. Дальнейшее выглядит как тавтология. Если Т включает в себя только допустимые (по-английски лучше будет legitimate) математические методы рассуждения, то она в наших глазах непротиворечива. Просто потому, что иначе мы не признаем эти методы расссуждения за допустимые. (Автор использует как сильный аргумент то обстоятельство, что некоторые логики предлагали теории, впоследствии оказавшиеся противоречивыми. Мне кажется, что это вполне аналогично неправильным доказательствам - ошибки всегда возможны. К тому же, эти теории не выходили из узкого круга логиков, и ни один математик никогда не признавал их как допустимое основание для его работы.) Итак, использование Т в этом рассуждении правомерно только тогда, когда мы верим в непротиворечивость Т, и, следовательно, верим, что G верно.
Вопрос о Strong AI для меня выглядит своего рода партийным - аргументы противной стороны не воспринимаются, а каждая своя маленькая находка объявляется фатальным ударом по противнику. Например, Мартин Дэвис в гораздо более популярном (и, можно сказать, примитивном), чем книги Пенроуза, сочинении приводит полустраничный аргумент, который, по его мнению, опровергает все рассуждения Пенроуза.
А что вы думаете по поводу других моих замечаний - о философах, оставшихся в 30-х годах и теореме Левенгейма-Сколема?
no subject
Date: 2004-05-11 07:09 pm (UTC)> книги Пенроуза оно все же вряд ли
> опровергает (я их не изучал детально, но
> мне кажется, что там много всяких
> соображений).
Да, мне стоило упомянуть, что я не думаю, что оно обязательно
опровергает все аргументы Пенроуза (я написал "а-ля Пенроуз", имея
это в виду и желая подчеркнуть общий аргумент, а не все подробности, но
не уточнил) Хотя они (Гёделевы аргументы Пенроуза) занимают 1-2 главы в
каждой из книг, они построены в виде
аргумента, окружённого множеством ответов на предвосхищаемые
возражения, и вполне возможно, что он пытается ответить на это
опровержение в одном из них - я просто не помню.
> Так что речь должна идти о какой-то
> серьезно ограниченной теории Т. Как
> минимум, теория Т должна касаться
> только математических утверждений и
> методов рассуждения.
Согласен.
> Дальнейшее
> выглядит как тавтология. Если Т
> включает в себя только допустимые
> (по-английски лучше будет legitimate)
> математические методы рассуждения, то
> она в наших глазах непротиворечива.
> Просто потому, что иначе мы не
> признаем эти методы расссуждения за
> допустимые.
Мне кажется, что Вы видите здесь тавтологию потому, что вносите её,
слишком ограничивая то, как "выглядит" система T. У Вас выходит, что
состав T на формальном уровне (т.е. аксиомы и правила дедукции T)
являются прямым отражением гипотетических методов рассуждения, которыми
пользуемся мы; а так как мы не стали бы пользоваться методами
рассуждения, которые могут с нашей точки зрения привести к противоречию,
то мы неизбежно считаем T непротиворечивой. Но в такой модели Вы неявно
ограничиваете наши (человеческие) математические методы рассуждения
такими, которые могут быть непосредственно формализованы в виде
формальных аксиом T, причём так, что эта непосредственная формализация
нам очевидна. По сути дела Вы заранее соглашаетесь, что математическое
мышление человека есть что-то "вроде" формальной системы, настолько, что
эквивалентность принципов математического мышления и аксиом формальной
системы нам очевидна. Это сильно сужает аргумент Пенроуза, который не
требует таких ограничений. Согласно Пенроузу (моему пониманию
Пенроуза) дело обстоит скорее так:
как бы ни выглядело наше математическое мышление, на что бы оно ни было
похоже (в том числе оно, возможно, включает в себя "интуицию" и что
угодно ещё, какие угодно методы, непохожие никак на первый взгляд
на формальные доказательства), оно часть нашего мышления вообще, а наше
мышление вообще, поскольку (предполагая, и желая в итоге опровергнуть,
механистическую его природу) оно
является всего лишь результатом взаимодействия большого количества
нейронов и других физических механизмов мозга, можно эмулировать
посредством (какой-то гигантской) машины Тьюринга M; а выдаваемые такой
машиной утверждения,
соответствующие тому, что мы считаем истинным -- и даже точнее подкласс
математических таких утверждений -- можно рассматривать как набор
теорем, доказываемых некой формальной системой T, соответствующей M
согласно обычной эквивалентности разных определений рекурсивных
предикатов. Эта система T отражает наше математическое мышление на очень
"низком" уровне (грубо говоря, на уровне атомов-молекул-нейронов), и её
аксиомы совершенно
не соответствуют нашим собственным представлениям о том, каковыми являются
наши математические методы рассуждения - по сути дела, эти представления
оказываются не у дел. Поэтому мы не можем "раздробить" нашу уверенность
(или неуверенность) в непротиворечивости системы T на нашу уверенность или
неуверенность в отдельных методах рассуждения, которыми мы, по нашему
мнению, пользуемся.
[окончание следует]
no subject
Date: 2004-05-11 08:26 pm (UTC)Вовсе нет. Сам по себе я полагаю, что математические методы рассуждения не формализуемы (и даже думаю, что это видно из теоремы Левенгейма-Сколема и ее доказательства). Я просто пытаюсь разобраться в этих спорах. Причем я не пытаюсь воспроизводить позицию Пенроуза, хотя бы потому, что я недостаточно хорошо с ней знаком.
Пусть кто-то предъявил нам такую машину М или теорию Т, как вы описали. Как мы можем убедиться, что эта теория действительно отражает наш способ рассуждать? Может, это просто очень длинный список теорем и их доказательств, такой, что нам миллиона лет не хватит, чтобы в них разобраться. Мне кажется, для того, чтобы теорию можно было хоть как-то обсуждать, она должна быть обозримой. И должна быть снабжена аргументами в пользу того, что она делает то, что заявлено (вроде доказательства правильности программы). Я полагаю, что такие аргументы убедительны только тогда, когда они, как минимум, убеждают нас и в непротиворечивости.
В конце концов, если нам предъявят эту замечательнуя машину М, мы начнем ее изучать. Если мы сможем убедиться в том, что она действительно эмулирует наше математическое мышление, мы поверим и в ее непротиворечивость, и следовательно, в справедливость геделева утвеждения G(M). Если мы не сможем в этом убедиться - не будет и аргумента в пользу того, что М моделирует наше математическое мышление.
(У меня такое ощущение, что это все тот же парадокс лжеца.)
Вся полемика на эту тему представляется мне весьма странной. Некоторые люди полагают, что люди - это большие компьютеры. (Наверное, эти люди и на самом деле компьютеры ;).) Почему-то им хочется убедить других в этом умозрительно, до того, как они построят машину, убеждающую в этом своей деятельностью. У некоторых людей (скажем, у меня, и, видимо, у Пенроуза) такой подход вызывает желание его оспорить. Вот Мартин Дэвис пишет, что он проанализировал свои собственные мыслительные процессы, и пришел к выводы, что они очень похожи на функционирование компьютера. Прекрасно, Мартин Дэвис - компьютер! Я готов с этим согласиться. Тут же он сообщает, что его жена, по ее рассказам, мыслит совсем иначе. Вот мое мышление гораздо ближе к тому, что Мартин Дэвис пишет о своей жене, а не о себе. И вот мы, жена Мартина Дэвиса и я - не комьютеры. Я бы на этом и остановился.
no subject
Date: 2004-05-11 07:10 pm (UTC)(естественно, можно использовать аргумент Пенроуза, не рассуждая об
атомах и нейронах, а просто предположив, что наше мышление алгоритмично
в том смысле, что есть формальная теория T, его эмулирующая; просто
рассуждения о нейронах демонстрируют ложность неявного предположения о
том, что аксиомы такой T хорошо соответствуют принципам нашего мышления,
так, как мы их понимаем - и заодно показывают, почему Пенроуз в конце
концов приходит к необходимости постулировать важность квантовых
процессов для мышления - чтобы вырваться из порочного круга
механистичности->вычислимости по Тьюрингу->доказуемости в формальной
системе).
Кроме того, даже если пользоваться Вашим пониманием того, как T отражает
наше мышление, мне кажется неверным Ваша аналогия:
> (Автор использует как
> сильный аргумент то обстоятельство, что
> некоторые логики предлагали теории,
> впоследствии оказавшиеся
> противоречивыми. Мне кажется, что это
> вполне аналогично неправильным
> доказательствам - ошибки всегда
> возможны.
Доказательство можно (в принципе, и предполагая, что оно достаточно
подробно выписано) проверить, и либо найти в нём ошибку, либо убедиться
в его корректности. А вот для проверки непротиворечивости формальной
системы не существует алгоритма. Более верной аналогией к
"считали непротиворечивым, но потом оказалось, что ошиблись" следует
считать математическое "считали гипотезу верной, но потом нашли
контрпример" - в обоих случаях думали, что нет какого-то конкретного
объекта, не имели алгоритмического способа проверить наличие этого
объекта, а потом его обнаружили всё же. Поэтому, согласно этой аналогии,
нашу уверенность в непротиворечивости наших методов рассуждения можно
сравнить с уверенностью математика в (например) том, что докажут
гипотезу Римана. Но ведь такую уверенность нельзя приравнять к
уверенности в том, что гипотеза Римана доказана; так и с нашими
математическими методами: мы уверены в том, что они непротиворечивы, но
не "видим интуитивно" истинности утверждения о том, что не существует
противоречия.
О Strong AI и Левенгейме-Сколеме попытаюсь ответить в отдельном
комментарии.
no subject
Date: 2004-05-11 08:30 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-12 09:34 am (UTC)навскидку: наше мышление (в любом смысле)
является формализуемо представляемой системой
(интуиция либо иррелевант либо формализуема).
типа не первый раз встречаю математическое рассуждение
о мышлении, и каждый раз удивляюсь его пустоте.
no subject
Date: 2004-05-13 11:02 am (UTC)Почему?
(no subject)
From:no subject
Date: 2004-05-12 12:47 am (UTC)Можно и наоборот сказать, что "парадоксы" Л-С демонстрируют неадекватность математической интуиции по отношению к формальным системам. Можно уточняющий вопрос: а в чем суть дела?
Я, к своему стыду не знаю ничего о результатах Фридмана и Х-К-П (об остальном упомянутом вами имею представление), поэтому не понял, что Вы имели в виду.
no subject
Date: 2004-05-12 01:57 am (UTC)Теорема Х-К-П предъявляет конкретное математическое утверждение, не зависящее от арифметики Пеано. Это не специально построенное утверждение геделева типа, а немного усиленный вариант обычной теоремы Рамсея из комбинаторики. Доказательство не опирается на теорему Геделя, хотя с ее использованием теорему можно доказать короче и обычно выбирается именно такой путь.
Так что для доказательста этой теоремы арифметики (или теоремы о конечных множествах) необходимо использовать по-крайней мере фрагмент теории бесконечных множеств.
Фридман нашел ряд уверждений вещественного анализа и (не очень) бесконечной комбинаторики, для доказательства которых необходимо (как он доказал) использовать очень большие множества, гораздо больше тех, о которых идет речь в этих теоремах.
Эти результаты интересны тем, что в них идет речь о независимости утверждений, очень близких к обычной математической практике, в отличие от искусственных утверждений Геделя.
no subject
Date: 2004-05-12 02:57 am (UTC)Однако почему Вы делаете из этого вывод про то, что "формальные системы являтся математическим объектом, не имеющим того глубокого философского значения, которое ему когда-то придавалось", -- мне неясно. По-моему, из этих результатов следует только то, что наше математическое мышление гораздо богаче PA, что и так было ясно, раз уж мы придумали ZFC. Перечисленные примеры дают этому яркую иллюстрацию.
А Ваше заключение гораздо сильнее, и пока для меня остается не обоснованным.
no subject
Date: 2004-05-12 03:17 pm (UTC)Однажды мне встретилось замечание, что континуум-гипотеза разрешима в теории множеств, основанной на логике второго порядка, только никто не знает как. Кажется, это было в русском переводе одной из статей Крайзеля, может быть, в примечаниях переводчика. Мои попытки узнать об этом больше не увенчались успехом (правда, нельзя сказать, что я очень старался). Если это так, то и интерес теоремы Коэна гораздо меньше, чем это обычно думают.
В 20-30-е годы прошлого века к вопросам оснований относились очень серьезно (достаточно сказать, что проблемы оснований повлияли на выбор Германом Вейлем тем для исследования - он сознательно работал в областях, которые казались ему (и действительно были) наиболее удаленными от трудностей теории множеств). Все это уже давно не актуально, парадокс Рассела больше никого из работающих математиков не занимает. Для меня он не более значим, чем парадокс о деревенском брадобрее, который бреет только тех, кто не бреет себя сам.
Теория формальных систем остается интересной, но, мне кажется, продолжать искать в ней ответы на какие-то философские вопросы можно, только если игнорировать все развитие математики после 30-х годов; точнее, тот факт, что логические результаты не оказали на него никакого влияния.
Теоремы Харрингтона-Кирби-Париса и Фридмана интересны не потому, что они доказывают неполноту или неадекватность интуиции каких-то формальных систем, а потому, что они показывают нам, что некоторые сложные средства необходимы для получения некоторых просто формулируемых результатов. Как если бы кто-нибудь доказал, что некая теорема теории чисел не может быть доказана без комплексного анализа - но такая формулировка (пока?) не поддается превращению в точное утверждение, которое можно было бы доказывать.
Результаты Фридмана выходят за рамки арифметики Пеано. Почти вся математика умещается в небольшой фрагмент ZFC. Фридман приводит утверждения о вещественных функциях, для доказательства которых нужны очень большие множества. Я не уверен, но, возможно, у него есть примеры утверждений, для доказательства которых нужна аксиома замены (самая мощная аксиома ZFC - F здесь именно из-за этой аксиомы Френкеля). В принципе, существование таких утверждений следует из Геделя, но между искусственными утверждениями Геделя и естественными утверждениями Фридмана есть огромная разница.
В заключение, согласитесь, доказывать что нечто малоинтересно - неблагодарное занятие. Мне не очень хочется им заниматься. Когда первый раз знакомишься с теоремами Геделя, они производят сильное впечатление. Но сейчас мне кажутся более интересными и значимыми более поздние результаты. А писать об основаниях математики так, как будто математики по-прежнему ошарашены результатами Геделя (на самом деле они никогда никак не затрагивали 99,99..% математики) - прямая ложь, к сожалению, распостранненая среди популяризаторов и философов.
(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2004-05-11 03:15 pm (UTC)Патнэм _не_ говорит, что термин "вода" привязан к химической формуле, уж во всяком случае не до открытия этой формулы. С его точки зрения, жители Twin Earth не ошибаются, употребляя это слово. Просто в их языке слово "вода" означает XYZ. (И на Земле означало бы, если бы здешняя вода была XYZ.) С его точки зрения, "вода" означает `жидкость, подобная той, с которой я сталкивался тогда-то и тогда-то'. А в чем состоят критерии подобия -- отдельный вопрос (который в статье Патнэма тоже обсуждается, хотя и немного).
Между прочим, по-моему, у Грегга возникли бы большие проблемы с другим примером из того же Meaning of `Meaning' -- с буком и вязом. Человек, который не умеет отличать один от другого (и у которого, следовательно, совершенно одинаковые понятия связаны с этими двумя словами) все равно знает, что бук и вяз -- два разных дерева. И значит, значения слов для него -- разные.
no subject
Date: 2004-05-11 03:20 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-11 07:22 pm (UTC)я одного не понимаю: утверждается неразличимость равномерных прямолинейных движений (на самом деле, в общей т.о., движений по геодезической). в то же время, часы в равномерно и прямолинейно летящей ракете идут медленнее, чем в покоящейся, и этот эффект физически наблюдаем. где же тут неразличимость?
no subject
Date: 2004-05-12 05:06 am (UTC)Вот вам и неразличимость. Вот вам и относительность.
no subject
Date: 2004-05-12 06:15 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-12 06:40 am (UTC)А вот истинно покоящуюся частицу не выбрать. Наблюдая распад частиц, можно получить оба результата - когда сначала распадётся A, потом B, и наоборот, сначала B потом A.
Альберт, ты не прав
Date: 2004-05-12 11:35 am (UTC)Наблюдая распад частиц, можно получить оба результата - когда сначала распадётся A, потом B, и наоборот, сначала B потом A.
интересно... как это?
глупости
From:Re: глупости
From:Re: глупости
From:Re: глупости
From:Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:Re: Ещё раз . Мееедленно.
From:no subject
Date: 2004-05-11 09:21 pm (UTC)по-моему, они все дураки какие-то. никакой проблемы не существует. если это тот же самый язык, то water - это water по определению. если два разных (Kupffer) - то обычная проблема перевода. в подавляющем большинстве контекстов та вода - это эта вода. кроме контекстов о химическом составе. да в большинстве случаев так, взять любое слово - никогда семантические поля полностью не совпадают, всегда можно найти случай, когда это годится, а то уже нет. псевдопроблема, как с критянским лжецом.
no subject
Date: 2004-05-12 06:01 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-12 03:26 pm (UTC)А можно личный вопрос?
Date: 2004-05-13 08:48 am (UTC)