![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaДве красивые задачки с элементарным, но не совершенно тривиальным решением. Мне понравились. Не знаю, насколько они известны; я наткнулся на них в старом выпуске American Mathematical Monthly.
Если вдруг (хоть я в это не верю) не появится правильное решение в комментариях за несколько дней, то я опубликую своё доказательство. Тому, кто хочет решать сам, в комментарии лучше не заглядывать (я хоть и буду скрывать на время правильные решения или значительные шаги к ним, но не всегда оперативно).
- Пусть S — множество всех натуральных чисел, у которых нет простых делителей, больших, чем 3. Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы набора чисел из S, так, что числа в наборе не повторяются, и ни одно число в наборе не кратно никакому другому.
- Пусть T — множество всех натуральных чисел, у которых нет простых делителей, кроме 2, 5 или 7. Доказать, что заключение предыдущего пункта выполняется (для T, а не для S, естественно) для любого достаточно большого натурального числа.
Если вдруг (хоть я в это не верю) не появится правильное решение в комментариях за несколько дней, то я опубликую своё доказательство. Тому, кто хочет решать сам, в комментарии лучше не заглядывать (я хоть и буду скрывать на время правильные решения или значительные шаги к ним, но не всегда оперативно).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2004-05-29 04:19 pm (UTC)(я скрою твоё решение пока что, с твоего разрешения)
no subject
Date: 2004-05-29 05:01 pm (UTC)Ну, против тебя они долго не устояли, но я надеюсь, что кому-нибудь из не-математиков процесс решения будет более challenging ;) и понравится.
no subject
Date: 2004-05-29 05:21 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-29 06:11 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-29 06:12 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-29 06:14 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:16 pm (UTC)А про 2, 5 что-нибудь можешь сказать?
no subject
Date: 2004-05-30 07:23 pm (UTC)Вообще, я верю в следующее. Пусть (an) - строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая что an+1/an стремится к 1. Тогда всякое большое число есть сумма различных членов этой последовательности, причем отношение любых двух слагаемых меньше 2. Понятно, что отсюда все следует для любых двух простых.
no subject
Date: 2004-05-30 07:30 pm (UTC)Для 2, 7 очевидно неверно (см. остатки по модулю 7).
А щас я напишу у себя, почему это может быть верно только для конечного (и очень небольшого) числа пар.
no subject
Date: 2004-05-30 07:43 pm (UTC)Значит, и моя "общая гипотеза" неверна. Возможно, надо добавить какое-нибудь локальное условие.
no subject
Date: 2004-05-30 07:47 pm (UTC)А идея такая: для двух простых общего числа сумм не хватает, если простые "слишком" велики.
no subject
Date: 2004-05-31 01:17 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 09:42 pm (UTC)no subject
Date: 2004-06-01 10:46 pm (UTC)И заключение сделать такое: либо мн-во непредставимых чисел конечно, либо оно содержит бесконечную арифметическую прогрессию.
no subject
Date: 2004-06-05 06:45 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:47 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:49 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:51 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-29 06:14 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-29 04:37 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-29 04:45 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 04:18 am (UTC)Для второй та же идея дает индукционный шаг, но базу индукции без компа не найти (нужен кусок от Х до 2Х, сплошь представимый; и Х должно быть довольно большое).
Но, судя по не спрятанным комментариям Французика, какую-то идею я упускаю.
no subject
Date: 2004-05-30 07:24 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:26 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:27 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:26 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 03:17 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 05:14 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 05:25 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 06:05 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 07:37 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 07:49 am (UTC)