![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaДве красивые задачки с элементарным, но не совершенно тривиальным решением. Мне понравились. Не знаю, насколько они известны; я наткнулся на них в старом выпуске American Mathematical Monthly.
Если вдруг (хоть я в это не верю) не появится правильное решение в комментариях за несколько дней, то я опубликую своё доказательство. Тому, кто хочет решать сам, в комментарии лучше не заглядывать (я хоть и буду скрывать на время правильные решения или значительные шаги к ним, но не всегда оперативно).
- Пусть S — множество всех натуральных чисел, у которых нет простых делителей, больших, чем 3. Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы набора чисел из S, так, что числа в наборе не повторяются, и ни одно число в наборе не кратно никакому другому.
- Пусть T — множество всех натуральных чисел, у которых нет простых делителей, кроме 2, 5 или 7. Доказать, что заключение предыдущего пункта выполняется (для T, а не для S, естественно) для любого достаточно большого натурального числа.
Если вдруг (хоть я в это не верю) не появится правильное решение в комментариях за несколько дней, то я опубликую своё доказательство. Тому, кто хочет решать сам, в комментарии лучше не заглядывать (я хоть и буду скрывать на время правильные решения или значительные шаги к ним, но не всегда оперативно).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2004-05-30 07:30 pm (UTC)Для 2, 7 очевидно неверно (см. остатки по модулю 7).
А щас я напишу у себя, почему это может быть верно только для конечного (и очень небольшого) числа пар.
no subject
Date: 2004-05-30 07:43 pm (UTC)Значит, и моя "общая гипотеза" неверна. Возможно, надо добавить какое-нибудь локальное условие.
no subject
Date: 2004-05-30 07:47 pm (UTC)А идея такая: для двух простых общего числа сумм не хватает, если простые "слишком" велики.
no subject
Date: 2004-05-31 01:17 am (UTC)no subject
Date: 2004-05-31 09:42 pm (UTC)no subject
Date: 2004-06-01 10:46 pm (UTC)И заключение сделать такое: либо мн-во непредставимых чисел конечно, либо оно содержит бесконечную арифметическую прогрессию.
no subject
Date: 2004-06-05 06:45 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:47 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:49 pm (UTC)no subject
Date: 2004-05-30 07:51 pm (UTC)