математика, о биссектрисах

[avva]

Биссектриса —
Это такая крыса,
Которая бегает по углам
И режет угол пополам.

На уроках математики в школе больше всего не любил геометрию. У меня всегда плохо было с геометрическим (а после выяснилось, что еще хуже - именно с пространственным) воображением.

С биссектрисами вышло так. Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны между собой, и биссектрисы из этих двух углов равны по длине. С другой стороны, если в треугольнике биссектрисы двух углов равны, то равны и сами эти углы, и треугольник равнобедренный. Одно из этих двух утверждений тривиально, а другое довольно сложно доказать, но я никак не мог запомнить, какое! Не говоря уж о том, чтобы запомнить это "довольно сложное" доказательство (кажется, его не было в школьной проргамме, но во время подготовки к какой-то олимпиаде я его учил).

Может, я не один был такой с этой путаницей? Короче, вот мне попалось вчера красивое и не очень сложное доказательство, с готовой картинкой. Перепишу его по-русски.

В общем, тривиальное направление - это когда мы знаем, что треугольник ABC равнобедренный, ∠A = ∠B, и хотим доказать, что биссектрисы этих двух углов, AD и BE, равны между собой. Если обозначить точку их пересечения I, то ясно, что части этих биссектрис до I равны: AI=BI, потому что ABI - тоже равнобедренный треугольник; а их части после I равны: ID=IE, потому что треугольники AIE и BID равны: у них равны стороны AI=BI, и оба прилегающих к этим сторонам угла.

Нетривиальное направление - это когда мы предполагаем, что равны биссектрисы углов ∠A и ∠B, AD = BE, и хотим доказать, что эти углы равны: ∠A = ∠B. Это называется Steiner-Lehmus Theorem, Гугль находит всякую информацию и доказательства. То доказательство, которое я объясняю, опирается на дополнительное построение, обозначенное на рисунке: проведем от точки D луч, параллельный AE, а от точки E - луч, параллельный AD. Они встретятся в точке F и мы получаем параллелограм ADFE с равенством противоположых сторон; соединим также F с B.

Теперь предположим, что углы неравны, и ∠A > ∠B. Тогда то же верно касательно их половин: ∠BAD > ∠ABE. Т.к. две стороны треугольников ABD и ABE, прилегающие к этим углам, попарно равны (AB равна самой себе, а AD=BE согласно условию), третья сторона больше там, где больше угол, т.е. получаем BD > AE.

С другой стороны, посмотрим на две другие половины тех же углов: ∠DAC > ∠EBC, а угол DAC равен противоположному ему в параллелограмме ∠DFE, поэтому ∠DFE > ∠EBC. Однако два угла треугольника EBF , из которых эти составляют часть, равны между собой: ∠BFE = ∠EBF, и это потому, что треугольник равнобедренный, EF=BE (ведь EF равна AD в параллелограмме, а AD=BE по условию). Поэтому вычитая неравные углы из равных, получаем неравенство ∠DFB < ∠DBF. В любом треугольнике меньшему из двух углов противостоит меньшая из двух сторон, поэтому из ∠DFB < ∠DBF мы можем заключить BD < DF, а DF=AE в параллелограмме, поэтому BD < AE. Мы пришли к противоречию с доказанным ранее BD > AE.

Поэтому не может быть, чтобы ∠A > ∠B, и аналогичным образом доказывается, что не может быть ∠A < ∠B. Следовательно, углы равны.

Может, теперь не забуду если не само доказательство, то хотя бы то, какое из направлений нетривиально :)

Comments

[mi-b.livejournal.com]

в одну сторону все тривиально из соображений симметрии: равнобедренный треугольник симметричен относительно третьей биссектрисы

[avva.livejournal.com]

Можно и так сказать, да, хоть не уверен, что если эти соображения симметрии перевести в эксплицитное доказательство, то выйдет быстрее, чем то, что я написал.

[aburachil.livejournal.com]

Вы неправы, соображения симметрии очень просто формализовать, КпЭРК регуляно даёт премию тем геометрам, которые это соображение используют.

[avva.livejournal.com]

Я думаю, что вы меня неправильно поняли :)

[aburachil.livejournal.com]

Осталось лишь понять в каком аспекте :-)

[kalvado.livejournal.com]

Выйдет таки быстрее:
треугольники ADB i BEA равны по 2 признаку: АВ=ВА, углы ЕАВ и ДБА как равные углы равнобедреного, ВAD и EВА как половинки равных углов равнобедреного. Отсюда ЕВ=АД

[avva.livejournal.com]

Вот так действительно быстрее.

Голос с последней парты:

[master-nemo.livejournal.com]

простите, не понял!
Доказываем что (цитирую из условия)
>>>"С другой стороны, если в треугольнике биссектрисы двух углов равны,
>>> то равны и сами эти углы, и треугольник равнобедренный. "
а тут вы уже в доказательстве используете, что он равнобедренный.
>>"углы ЕАВ и ДБА как равные углы равнобедреного"
доказательство от желаемого? :)

Re: Голос с последней парты:

[kalvado.livejournal.com]

нет, это ответ на пост о тривиальности доказательства в одну сторону:
http://avva.livejournal.com/1661214.html?thread=37543710#t37543710

Re: Голос с последней парты:

[master-nemo.livejournal.com]

а
тогда сорри
не глянул на вывод и решил что речь идет об упрощении "длинного" доказательства

[cax.livejournal.com]

К вопросу о нелюбви к геометрии: одна из самых нелюбимых теорем из школьного учебника - это доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180.

Как оказалось потом, есть другое доказательство, которое не надо запоминать и не надо в нём разбираться, так как оно до безумия простое и рассказывается в пару предложений.

Спрашивается: каким образом в учебник попало то, что попало, если можно было доказать на порядок проще ?

[avva.livejournal.com]

А какие это доказательства - то, которое сложное и то, которое простое?

[cax.livejournal.com]

Сложное не помню. Помню лишь то, что его учили почти весь урок, ему посвящалась целая страница, и в нём использовалось несколько дополнительных построений. На следующем уроке его никто не мог воспроизвести, и в классе несколько человек заработали двойки.

А простое гугл находит много раз - например, в википедии. Через вершину параллельно основанию треугольника проводят прямую. При этом у вершины образуется 3 угла, каждый из которых равен одному из углов исходного треугольника, дающих вместе саму прямую. ВОт и всё.

[rakshas.livejournal.com]

Круто.

[kalvado.livejournal.com]

А вы в каком году учились? Судя по userinfo вам на один год не повезло:
по-моему у нас было именно так; это был новый учебник, который только напечатали- и то не хватало - был один учебник на двоих. я школу закончил в 92 году

[ad3002.livejournal.com]

Это бы доказательство в школе...

[brem.livejournal.com]

Ваше доказательство неполно - надо еще доказать (очевидное из картинки) утверждение, что два новых угла, образующихся при вершине (третий - уже имеется) именно накрестлежащие к внутренним углам треугольника при основании (а не односторонние). Попробуйте это проделать и Вы увидите, что у Вас получается не проще, чем у Погорелова.

[cax.livejournal.com]

А равенство соответственных углов тоже надо доказывать ?

[brem.livejournal.com]

Равенство углов следует из того, что прямые параллельны и углы - внутренние накрестлежащие (что уже доказано к моменту изложения теоремы о сумме углов треугольника). А вот факт их накрестлежащести (или лежачести?), хоть и ясен из картинки, доказывается с помощью построений вроде тех, которые Вам тогда не понравились (только вдвое большего их количества).

Можно спорить с тем, насколько осмысленно гнаться за максимальной строгостью, рассказывая основы геометрии в средней школе. Но если принята программа Погорелова, то в ее рамках его доказательство - видимо, оптимальное.

[cax.livejournal.com]

Я забыл упомянуть о том, что соответственные углы образуются не "под", а "над" дополнительно построенной прямой, если продлить за вершину стороны треугольника.

Учитывая всё то, что уже было доказано перед этой теоремой, можем ли мы говорить о равенстве соответственных углов, или нам опять понадобятся какие-то ещё сложные доказательства ?

[brem.livejournal.com]

"Над" или "под" дела не меняет. В обоих случаях остается один штрих -- нужно показать, что соответствующие углы при параллельных прямых отложены в одну (соотв. разные) полуплоскость (соотв. -ти), именно тогда углы окажутся равными (а не дополняющими друг друга до 180). Для этого нужно провести отрезок через какие-либо две точки на соответствующих сторонах углов и показать, что он пересекает секущую - в данном случае, сторону треугольника. Как это просто сделать, не знаю. Конструкция из учебника удобна тем, что в ней такой отрезок, вместе с точкой пересечения с секущей, возникает в процессе построения.

[avva.livejournal.com]

Мне кажется, что меня учили именно так (простым способом), но не помню точно.

[nadja-s.livejournal.com]

В принципе, можно (чтобы избежать доказательства от противного) просто обозначить x и y углы A и B, потом посчитать по картинке все остальные углы, а уравнение на x и y получится из равнобедренности построенного треугольника. Очевидно, оно упростится до x=y.

Вообще, удивительно, что вы не помните, какое проще :) Я, когда представляю равнобедренный треугольник, сразу вижу, что он симметричный (не в том смысле, что я такая умная, а просто - ну, видно :) ...), значит и биссектрисы, очевидно, равны (а раз очевидно, значит легко докажется). Ну а представить "треугольник с равными биссектрисами" мне гораздо сложнее.

[avva.livejournal.com]

Тут есть интересная тонкость, потому что утверждается, что избежать доказательства от противного здесь довольно тяжело. Дело в том, что уравнение упрощается до (x-y)(...что-то...)=0, но для того, чтобы заключить x=y, нужно сократить "что-то", а оно хоть действительно всегда >0, но может быть 0 в случае... если углы отрицательные :) утверждается, что хотя углы, ясно, положительные, это показывает, что на это приходится тем или иным образом опираться, что более или менее навязывает метод рассуждения от противного.

Вот здесь подробности, я не вполне до конца их понимаю, если честно :)

Насчет того, какое проще - я просто себя сильно запутал в свое время, видимо, пытаясь запомнить. Если представить себе картину и подумать немного, я несомненно понял бы, какое направление тривиальное, но вот так "сходу" слишком запутал себя этим вопросом :)

[nadja-s.livejournal.com]

Ой, я прошу прощения, я неправильно посчитала. Вроде, действительно, одними углами не обойтись, а тогда я верю, что еще ...что-то... останется.

[orleanz.livejournal.com]

Авва, это здорово что вы такой есть, такой разнообразный! Жгите дальше.

[gava.livejournal.com]

-- такой разнообразный

Такой разнобедренный :-)

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

Пусть VACB=pi-a, |AB|=1, VCAB=x, тогда VABC=a-x, VADB=pi-a+x/2 и по теореме синусов |AD|=sin(a-x)/sin(a-x/2). Дифференцирование по x дает [-cos(a-x)sin(a-x/2)+1/2 cos(a-x/2)sin(a-x)]/sin^2(a-x/2)=-1/2[sin(x/2) + cos(a-x)sin(a-x/2)]/sin^2(a-x/2). Отсюда видно, что |AD| монотонно убывающая функция от x при x меняющемся от 0 до a (a фиксировано). Из соображений симметрии очевидно, что |BE| монотонно возрастающая функция, поэтому |BE|=|AD| возможно лишь для одного значения x

[oblomov-jerusal.livejournal.com]

По-моему, у меня ошибка, т.е. непонятно, почему функция монотонна.

Длинное доказательство

[knop.livejournal.com]

rus4 написал достаточно краткое доказательство вот тут:
http://knop.livejournal.com/244002.html?thread=5714210#t5714210

Re: Длинное доказательство

[avva.livejournal.com]

Красиво! Спасибо.