математика, о биссектрисах

[avva]

Биссектриса —
Это такая крыса,
Которая бегает по углам
И режет угол пополам.

На уроках математики в школе больше всего не любил геометрию. У меня всегда плохо было с геометрическим (а после выяснилось, что еще хуже - именно с пространственным) воображением.

С биссектрисами вышло так. Если треугольник равнобедренный, то у него два угла равны между собой, и биссектрисы из этих двух углов равны по длине. С другой стороны, если в треугольнике биссектрисы двух углов равны, то равны и сами эти углы, и треугольник равнобедренный. Одно из этих двух утверждений тривиально, а другое довольно сложно доказать, но я никак не мог запомнить, какое! Не говоря уж о том, чтобы запомнить это "довольно сложное" доказательство (кажется, его не было в школьной проргамме, но во время подготовки к какой-то олимпиаде я его учил).

Может, я не один был такой с этой путаницей? Короче, вот мне попалось вчера красивое и не очень сложное доказательство, с готовой картинкой. Перепишу его по-русски.

В общем, тривиальное направление - это когда мы знаем, что треугольник ABC равнобедренный, ∠A = ∠B, и хотим доказать, что биссектрисы этих двух углов, AD и BE, равны между собой. Если обозначить точку их пересечения I, то ясно, что части этих биссектрис до I равны: AI=BI, потому что ABI - тоже равнобедренный треугольник; а их части после I равны: ID=IE, потому что треугольники AIE и BID равны: у них равны стороны AI=BI, и оба прилегающих к этим сторонам угла.

Нетривиальное направление - это когда мы предполагаем, что равны биссектрисы углов ∠A и ∠B, AD = BE, и хотим доказать, что эти углы равны: ∠A = ∠B. Это называется Steiner-Lehmus Theorem, Гугль находит всякую информацию и доказательства. То доказательство, которое я объясняю, опирается на дополнительное построение, обозначенное на рисунке: проведем от точки D луч, параллельный AE, а от точки E - луч, параллельный AD. Они встретятся в точке F и мы получаем параллелограм ADFE с равенством противоположых сторон; соединим также F с B.

Теперь предположим, что углы неравны, и ∠A > ∠B. Тогда то же верно касательно их половин: ∠BAD > ∠ABE. Т.к. две стороны треугольников ABD и ABE, прилегающие к этим углам, попарно равны (AB равна самой себе, а AD=BE согласно условию), третья сторона больше там, где больше угол, т.е. получаем BD > AE.

С другой стороны, посмотрим на две другие половины тех же углов: ∠DAC > ∠EBC, а угол DAC равен противоположному ему в параллелограмме ∠DFE, поэтому ∠DFE > ∠EBC. Однако два угла треугольника EBF , из которых эти составляют часть, равны между собой: ∠BFE = ∠EBF, и это потому, что треугольник равнобедренный, EF=BE (ведь EF равна AD в параллелограмме, а AD=BE по условию). Поэтому вычитая неравные углы из равных, получаем неравенство ∠DFB < ∠DBF. В любом треугольнике меньшему из двух углов противостоит меньшая из двух сторон, поэтому из ∠DFB < ∠DBF мы можем заключить BD < DF, а DF=AE в параллелограмме, поэтому BD < AE. Мы пришли к противоречию с доказанным ранее BD > AE.

Поэтому не может быть, чтобы ∠A > ∠B, и аналогичным образом доказывается, что не может быть ∠A < ∠B. Следовательно, углы равны.

Может, теперь не забуду если не само доказательство, то хотя бы то, какое из направлений нетривиально :)

Comments

[nadja-s.livejournal.com]

В принципе, можно (чтобы избежать доказательства от противного) просто обозначить x и y углы A и B, потом посчитать по картинке все остальные углы, а уравнение на x и y получится из равнобедренности построенного треугольника. Очевидно, оно упростится до x=y.

Вообще, удивительно, что вы не помните, какое проще :) Я, когда представляю равнобедренный треугольник, сразу вижу, что он симметричный (не в том смысле, что я такая умная, а просто - ну, видно :) ...), значит и биссектрисы, очевидно, равны (а раз очевидно, значит легко докажется). Ну а представить "треугольник с равными биссектрисами" мне гораздо сложнее.

[avva.livejournal.com]

Тут есть интересная тонкость, потому что утверждается, что избежать доказательства от противного здесь довольно тяжело. Дело в том, что уравнение упрощается до (x-y)(...что-то...)=0, но для того, чтобы заключить x=y, нужно сократить "что-то", а оно хоть действительно всегда >0, но может быть 0 в случае... если углы отрицательные :) утверждается, что хотя углы, ясно, положительные, это показывает, что на это приходится тем или иным образом опираться, что более или менее навязывает метод рассуждения от противного.

Вот здесь подробности, я не вполне до конца их понимаю, если честно :)

Насчет того, какое проще - я просто себя сильно запутал в свое время, видимо, пытаясь запомнить. Если представить себе картину и подумать немного, я несомненно понял бы, какое направление тривиальное, но вот так "сходу" слишком запутал себя этим вопросом :)

[nadja-s.livejournal.com]

Ой, я прошу прощения, я неправильно посчитала. Вроде, действительно, одними углами не обойтись, а тогда я верю, что еще ...что-то... останется.