задачка

[avva]

По внутренней рассылке прислали задачку. Очень может быть, что нетривиальную; решения я не знаю. Звучит красиво... думаю.

Пусть у нас есть какой-то набор достоинств монет, так, что любую сумму можно собрать из монет данного набора (количество индивидуальных монет каждого достоинства неограничено). Для любой суммы, чтобы собрать ее посредством данного набора, можно воспользоваться "жадным" алгоритмом: каждый раз брать наибольшую возможную монету, меньшую оставшейся суммы, вычитать ее, и продолжать так, пока ничего не останется.

Есть наборы, для которых "жадный" алгоритм всегда приведет к наименьшему возможному количеству монет (скажем, набор из 10, 5, 3 и 1 - такой). А есть наборы, для которых иногда можно воспользоваться меньшим количеством монет, чем дает "жадный" алгоритм (например, набор достоинств в 25, 20, 10, 5 и 1 такой: сумму в 40 денежных единиц можно в нем выразить двумя монетами по 20, а "жадный" алгоритм дает три монеты: 25, 10 и 5).

Вопрос: как для любого набора определить, к какой из этих двух групп он относится, т.е. всегда ли жадный алгоритм дает для него наименьшее количество монет?

P.S. Если вы просто знаете правильное решение (а не придумали его сами), не надо им делиться пока, хочу подумать сам.

Comments

[relf.livejournal.com]

Просто тогда в 1998 году из твоих слов у меня сложилось впечатление, что полное решение задачи неизвестно (хотя тут еще надо уточнять, что является решением). Получается, что я неправильно тебя понял. В любом случае спасибо за разъяснения.
А тех-файлы безусловно интересны, жду с нетерпением.