тензоры

[avva]

Кажется, недавно я наконец-то разобрался в чем-то, что мне казалось загадочным и непонятным очень долгое время: в тензорах. И это меня очень обрадовало.

Конечно, дело не в том, что тензоры сами по себе загадочны и непонятны; но такими они мне представлялись. Те курсы по физике, что я брал в университете, до них не дошли; в математике мне время от времени встречался какой-то вводный материал о тензорах или тензорном произведении, но он только добавлял неясного тумана в мои представления. Теперь, когда я (как мне кажется) понимаю все намного лучше, мне уже трудно вспомнить, где был туман и что меня так смущало; но это естественно.

Мне попадались два подхода к тензорам. С одной стороны, есть хардкорно-числовой подход, где тензор определяется как многомерная матрица (уже страшно) чисел, которые преобразуются тем или иным способом, когда меняется базис пространства. Я не понимал, почему это важно, что они преобразуются тем или иным способом, что это значит, и что это все-таки за объект в итоге, тензор. С другой стороны, был алгебраический подход, в котором тензор - это линейный функционал на произведении некоторого количества копий исходного пространства и копий его дуального пространства. Тут я вполне понимал определения и самые простые теоремы; я просто не мог понять, зачем такие тензоры нужны, и какое отношение они имеют к числовым-матричным тензорам, которые как-то так трансформируются при смене базиса.

Несколько страниц из General Relativity Robert'а Wald'а - это то, что мне помогло развеять туман в голове (причем я даже не стремился к этому специально). Wald довольно дотошно вводит необходимый для общей относительности математический аппарат - многообразия, касательные пространства, тензоры, тензорные поля итд. - мне это было довольно легко читать, потому что я помнил самые основные вещи из курса дифференциальной геометрии, который прослушал много лет назад - и, помимо прочего, он "примиряет" описанные выше два подхода к тензорам с помощью нескольких физических примеров, которые проясняют, зачем же все это нужно. Когда я внимательно читал эти несколько страниц, я испытал трудноописуемое удовольствие; я почти что ощущал, мне казалось, физически, как рассеивается туман в голове, как несколько непонятных вещей сливаются в одну понятную. Редкое и прекрасное ощущение.

Comments

re: Gel'fand i Landau

[roman-kr.livejournal.com]

Gel'fand Lineynaya algebra i Landau Teoriy polya - kazhetsya samoye prostoye?

[potan.livejournal.com]

Когда я попробовал понять, что такое тензор, я решил что ни когда этого не смогу и бросил институт - первый курс МФТИ.
Понимание пришло много позже, как бы само собой. Но физикой заниматься уже поздно :-(.

[buddha239.livejournal.com]

А в чем проблема с нужностью?:) Есть дифференциальные формы, это тензоры, и замена координат в них производится по-тензорному.:)

[gdt.livejournal.com]

странно, что вам не попадался подход к тензору как к геометрическому объекту, т.е. к чему-то "объективному", независимому от системы координат, не привязанному к конкретным числам. по-моему, это самый естественный подход...

[12dakota.livejournal.com]

В большой советской энциклопедии, по-моему, коротко и доступно описано с примерами.

[posic.livejournal.com]

А что такое тензорное произведение, вы в результате понимаете? Например, для бесконечномерных векторных пространств, для которых тензорное произведение нельзя определить как пространство линейных функционалов на чем-либо (поскольку второе двойственное векторное пространство V** не изоморфно V)?

[orleanz.livejournal.com]

'Несколько страниц из General Relativity Robert'а Wald'а

если действительно только несколько, может сканы выложите в сеть?

[avva.livejournal.com]

Ну, я знаком с формальным определением тензорного произведения как картезианского произведения по модулю соответствующего отношения эквивалентности, и оно, как я понимаю, вполне работает для любых векторных пространств. Но интуитивного его понимания в случае бесконечномерных пространств у меня нет.

[buddha239.livejournal.com]

Кстати, в математике примеров тензорного произведения побольше будет.:) Например, $Z^n\otimes Q= Q^n$, $K[X]\otimes_K K[Y]=K[X,Y]$.

[david-2.livejournal.com]

"я испытал трудноописуемое удовольствие; я почти что ощущал, мне казалось, физически, как рассеивается туман в голове, как несколько непонятных вещей сливаются в одну понятную. Редкое и прекрасное ощущение" - так точно.

[avva.livejournal.com]

Тензорных произведений - да. А конкретных тензоров (или тензорных полей), интересных в качестве объектов для изучения?

Re: Gel'fand i Landau

[avva.livejournal.com]

Второе не читал. Первое проглядывал в свое время, но не помню там хорошее объяснение именно тензоров - только тензорных произведений. Может, пропустил.

[nenujomojo.livejournal.com]

самым естественным образом тензоры, как аппарат, вводятся, пожалуй, в теории упругости. к тому же невысокий ранг позволяет легко проверять свертки вручную и физика не поверхности.

Re: Gel'fand i Landau

[roman-kr.livejournal.com]

Prislat' esli nado?

Re: Gel'fand i Landau

[avva.livejournal.com]

(я понимаю, конечно, связь между ними; но мои затруднения были связаны как раз с непониманием того, как разные определения тензоров мотивируются/согласуются между собой. Что такое "элемент тензорного произведения n копий V и m копий V*" я хорошо понимал, просто этого было недостаточно)

Wald

[roman-kr.livejournal.com]

Ya ego nashel tolko v Torrente v biblioteke iz 1 Giga knig. Na rabote gruzit' ne mogy.

Re: Gel'fand i Landau

[avva.livejournal.com]

Спасибо, не надо; достать файл не проблема, проблема найти время читать ;)

[posic.livejournal.com]

Там, если быть точным, не декартово произведение по модулю отношения эквивалентности, а векторное пространство, формально натянутое на декартово произведение как на множество, по модулю отношения эквивалентности. Чтобы понять это определение, достаточно, по-моему, решить одно упражнение: доказать, что если в двух векторных пространствах выбраны базисы, то декартово произведение этих базисов будет базисом тензорного произведения.

Классический труд для выпускников ЛГУ

[baramin.livejournal.com]

Булдырев, Павлов (СПбГУ, физфак, мат. физика)
"Линейная алгебра. Функции многих переменных."
http://ru.dleex.com/read/?1589

[avva.livejournal.com]

Да. Если не ошибаюсь, это упражнение я в свое время решил, читая Finite-Dimensional Vector Spaces Halmos'a (недавно проглядывал ее заново; чем-то трудно определимым мне очень импонирует ее тон и способ организации материала; на мой субъективный вкус, лучшее введение в линейную алгебру).

[avva.livejournal.com]

А разве второй из описанных выше подходов - это не оно и есть?

[posic.livejournal.com]

Примером тензора является любая конечномерная алгебра (ассоциативная, лиевская, какая угодно). Отображение умножения AxA -> A -- это все равно, что элемент тензорного произведения двух копий A* и одной копии A.

[sanmai]

объективы всевозможные очень красиво рассчитывались с помощью тензоров...

[buddha239.livejournal.com]

Ну, дифференциальные формы как раз и сидят в тензорных (или же внешних) степенях кокасательного пространства.

оффтопик

[asnat.livejournal.com]

О, знакомое слово! В 92 году была первая Лингвистическая летняя школа в Дубне для старшеклассников. Мы жили в школе, а преподаватели - в общежитии завода "Тензор". Мы ходили к ним мыться в душе. Помню, заблудились и спрашивали у местного населения: "Вы не подскажете, где тут общежитие завода "Тензор"?" Три девицы. Ищут общежитие завода. Смотрели на нас с сочувствием.