тензоры

[avva]

Кажется, недавно я наконец-то разобрался в чем-то, что мне казалось загадочным и непонятным очень долгое время: в тензорах. И это меня очень обрадовало.

Конечно, дело не в том, что тензоры сами по себе загадочны и непонятны; но такими они мне представлялись. Те курсы по физике, что я брал в университете, до них не дошли; в математике мне время от времени встречался какой-то вводный материал о тензорах или тензорном произведении, но он только добавлял неясного тумана в мои представления. Теперь, когда я (как мне кажется) понимаю все намного лучше, мне уже трудно вспомнить, где был туман и что меня так смущало; но это естественно.

Мне попадались два подхода к тензорам. С одной стороны, есть хардкорно-числовой подход, где тензор определяется как многомерная матрица (уже страшно) чисел, которые преобразуются тем или иным способом, когда меняется базис пространства. Я не понимал, почему это важно, что они преобразуются тем или иным способом, что это значит, и что это все-таки за объект в итоге, тензор. С другой стороны, был алгебраический подход, в котором тензор - это линейный функционал на произведении некоторого количества копий исходного пространства и копий его дуального пространства. Тут я вполне понимал определения и самые простые теоремы; я просто не мог понять, зачем такие тензоры нужны, и какое отношение они имеют к числовым-матричным тензорам, которые как-то так трансформируются при смене базиса.

Несколько страниц из General Relativity Robert'а Wald'а - это то, что мне помогло развеять туман в голове (причем я даже не стремился к этому специально). Wald довольно дотошно вводит необходимый для общей относительности математический аппарат - многообразия, касательные пространства, тензоры, тензорные поля итд. - мне это было довольно легко читать, потому что я помнил самые основные вещи из курса дифференциальной геометрии, который прослушал много лет назад - и, помимо прочего, он "примиряет" описанные выше два подхода к тензорам с помощью нескольких физических примеров, которые проясняют, зачем же все это нужно. Когда я внимательно читал эти несколько страниц, я испытал трудноописуемое удовольствие; я почти что ощущал, мне казалось, физически, как рассеивается туман в голове, как несколько непонятных вещей сливаются в одну понятную. Редкое и прекрасное ощущение.

Comments

[buddha239.livejournal.com]

Кстати, в математике примеров тензорного произведения побольше будет.:) Например, $Z^n\otimes Q= Q^n$, $K[X]\otimes_K K[Y]=K[X,Y]$.

[avva.livejournal.com]

Тензорных произведений - да. А конкретных тензоров (или тензорных полей), интересных в качестве объектов для изучения?

[posic.livejournal.com]

Примером тензора является любая конечномерная алгебра (ассоциативная, лиевская, какая угодно). Отображение умножения AxA -> A -- это все равно, что элемент тензорного произведения двух копий A* и одной копии A.

[buddha239.livejournal.com]

Ну, дифференциальные формы как раз и сидят в тензорных (или же внешних) степенях кокасательного пространства.