тензоры

[avva]

Кажется, недавно я наконец-то разобрался в чем-то, что мне казалось загадочным и непонятным очень долгое время: в тензорах. И это меня очень обрадовало.

Конечно, дело не в том, что тензоры сами по себе загадочны и непонятны; но такими они мне представлялись. Те курсы по физике, что я брал в университете, до них не дошли; в математике мне время от времени встречался какой-то вводный материал о тензорах или тензорном произведении, но он только добавлял неясного тумана в мои представления. Теперь, когда я (как мне кажется) понимаю все намного лучше, мне уже трудно вспомнить, где был туман и что меня так смущало; но это естественно.

Мне попадались два подхода к тензорам. С одной стороны, есть хардкорно-числовой подход, где тензор определяется как многомерная матрица (уже страшно) чисел, которые преобразуются тем или иным способом, когда меняется базис пространства. Я не понимал, почему это важно, что они преобразуются тем или иным способом, что это значит, и что это все-таки за объект в итоге, тензор. С другой стороны, был алгебраический подход, в котором тензор - это линейный функционал на произведении некоторого количества копий исходного пространства и копий его дуального пространства. Тут я вполне понимал определения и самые простые теоремы; я просто не мог понять, зачем такие тензоры нужны, и какое отношение они имеют к числовым-матричным тензорам, которые как-то так трансформируются при смене базиса.

Несколько страниц из General Relativity Robert'а Wald'а - это то, что мне помогло развеять туман в голове (причем я даже не стремился к этому специально). Wald довольно дотошно вводит необходимый для общей относительности математический аппарат - многообразия, касательные пространства, тензоры, тензорные поля итд. - мне это было довольно легко читать, потому что я помнил самые основные вещи из курса дифференциальной геометрии, который прослушал много лет назад - и, помимо прочего, он "примиряет" описанные выше два подхода к тензорам с помощью нескольких физических примеров, которые проясняют, зачем же все это нужно. Когда я внимательно читал эти несколько страниц, я испытал трудноописуемое удовольствие; я почти что ощущал, мне казалось, физически, как рассеивается туман в голове, как несколько непонятных вещей сливаются в одну понятную. Редкое и прекрасное ощущение.

Comments

re: Gel'fand i Landau

[roman-kr.livejournal.com]

Gel'fand Lineynaya algebra i Landau Teoriy polya - kazhetsya samoye prostoye?

Re: Gel'fand i Landau

[avva.livejournal.com]

Второе не читал. Первое проглядывал в свое время, но не помню там хорошее объяснение именно тензоров - только тензорных произведений. Может, пропустил.

[potan.livejournal.com]

Когда я попробовал понять, что такое тензор, я решил что ни когда этого не смогу и бросил институт - первый курс МФТИ.
Понимание пришло много позже, как бы само собой. Но физикой заниматься уже поздно :-(.

[buddha239.livejournal.com]

А в чем проблема с нужностью?:) Есть дифференциальные формы, это тензоры, и замена координат в них производится по-тензорному.:)

[gdt.livejournal.com]

странно, что вам не попадался подход к тензору как к геометрическому объекту, т.е. к чему-то "объективному", независимому от системы координат, не привязанному к конкретным числам. по-моему, это самый естественный подход...

[avva.livejournal.com]

А разве второй из описанных выше подходов - это не оно и есть?

[12dakota.livejournal.com]

В большой советской энциклопедии, по-моему, коротко и доступно описано с примерами.

[posic.livejournal.com]

А что такое тензорное произведение, вы в результате понимаете? Например, для бесконечномерных векторных пространств, для которых тензорное произведение нельзя определить как пространство линейных функционалов на чем-либо (поскольку второе двойственное векторное пространство V** не изоморфно V)?

[avva.livejournal.com]

Ну, я знаком с формальным определением тензорного произведения как картезианского произведения по модулю соответствующего отношения эквивалентности, и оно, как я понимаю, вполне работает для любых векторных пространств. Но интуитивного его понимания в случае бесконечномерных пространств у меня нет.

[orleanz.livejournal.com]

'Несколько страниц из General Relativity Robert'а Wald'а

если действительно только несколько, может сканы выложите в сеть?

Wald

[roman-kr.livejournal.com]

Ya ego nashel tolko v Torrente v biblioteke iz 1 Giga knig. Na rabote gruzit' ne mogy.

[buddha239.livejournal.com]

Кстати, в математике примеров тензорного произведения побольше будет.:) Например, $Z^n\otimes Q= Q^n$, $K[X]\otimes_K K[Y]=K[X,Y]$.

[avva.livejournal.com]

Тензорных произведений - да. А конкретных тензоров (или тензорных полей), интересных в качестве объектов для изучения?

[david-2.livejournal.com]

"я испытал трудноописуемое удовольствие; я почти что ощущал, мне казалось, физически, как рассеивается туман в голове, как несколько непонятных вещей сливаются в одну понятную. Редкое и прекрасное ощущение" - так точно.

[silly_sad.livejournal.com]

юзерпик, я тебя знаю?


а мне обидно, что я недогоняю гораздо более простых вещей,
я над фейнмановским описанием почему у веществ есть цвет, месяца три думал, потом понял конечно, но до тензоров мне никогда не дойти.

[nenujomojo.livejournal.com]

самым естественным образом тензоры, как аппарат, вводятся, пожалуй, в теории упругости. к тому же невысокий ранг позволяет легко проверять свертки вручную и физика не поверхности.

Классический труд для выпускников ЛГУ

[baramin.livejournal.com]

Булдырев, Павлов (СПбГУ, физфак, мат. физика)
"Линейная алгебра. Функции многих переменных."
http://ru.dleex.com/read/?1589

[sanmai]

объективы всевозможные очень красиво рассчитывались с помощью тензоров...

[begemotv2718.livejournal.com]

А это занятно. Ссылкой не поделитесь (можно на книгу/статью)?

оффтопик

[asnat.livejournal.com]

О, знакомое слово! В 92 году была первая Лингвистическая летняя школа в Дубне для старшеклассников. Мы жили в школе, а преподаватели - в общежитии завода "Тензор". Мы ходили к ним мыться в душе. Помню, заблудились и спрашивали у местного населения: "Вы не подскажете, где тут общежитие завода "Тензор"?" Три девицы. Ищут общежитие завода. Смотрели на нас с сочувствием.

[buddha239.livejournal.com]

Если совсем тупо:) - квадратичные формы, а также операторы - тоже тензоры (валентности 0-2 и 1-1).

[avva.livejournal.com]

Ну знаете :-)

[sharp-idler.livejournal.com]

Очень рекомендую Схоутена "Тензорный анализ для физиков". Скачать можно, например, здесь: http://www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC_Calculus/MCta_Tensor%20calculus,%20forms/Sxouten%20Ja.A.%20(_Schouten%20J.A._)%20Tenzornyj%20analiz%20dlja%20fizikov%20(Nauka,%201965)(ru)(T)(455s)_MCta_.djvu

Мне эта книга помогла привязать абстрактную математику к физике и связать с дифф геометрией.

[mr-finder.livejournal.com]

Так интересно на это смотреть “снизу”. Мол, “я вырасту и тоже буду в теме”. :-)

[vzakharov.livejournal.com]

Тензорами не занимался, но что это за "редкое и прекрасное ощущение" хорошо понимаю, так что поздравляю!

[max630.livejournal.com]

Учить тензоры и не кидаться сразу после этого на их применение в виде например той же ОТО - действительно должно быть сложно.

[tr.livejournal.com]

А появилось ли ощущение, что это простое понятие? Что там нечего было бояться?

[avva.livejournal.com]

Гораздо более простое, чем боялся, да.

[shultz-flory.livejournal.com]

Я пришел к тензорной алгебре после того, как захотел глубже разобраться в ОТО. Очень скоро матаппарат заинтересовал меня сам по себе, безотносительно физики. Учебники по тензорам, которые мне нравятся: "Риманова геометрия и тензорный анализ" Рашевского и "Линейная алгебра" Постникова.

[os80.livejournal.com]

А нет ли у Вас на примете книги, которая бы примирила с теорией групп? Прочитал популярную книжку Александрова, потом просматривал более серьёзные книжки - но ощущение (скорее всего, неверное) что теория групп есть фуфел и всё только усложняет.
-----
Кстати, если кто из читающих этот комментарий может объяснить, зачем нужна теория групп - просто умоляю это сделать.

[shultz-flory.livejournal.com]

Математики стремятся к максимальному обобщению и унификации изучаемых ими объектов. Группы - почти крайний пример такого рода, левее только теория категорий. Мнение простых смертных на сей счет их мало волнует :)

Позитивный пример практического использования теории групп: из идеи инвариантности уравнений Максвелла в ИСО можно вывести преобразования Лоренца.

[ob3r0n.livejournal.com]

оооо тензоры - жуткая штука, придуманная физиками чтобы (!!!) можно было отказаться от физически свойств и работать только с тензорам .(

у нас же определение было: тезор - объект, изменяющийся по тензорному закону... беее

[migmit.vox.com (from livejournal.com)]

В Дираковской "ОТО", если не ошибаюсь, определение такое же. Но книжка настолько хороша, что определение прокатывает.

[ivan-gandhi.livejournal.com]

Только не функционал, а отображение.

оффтопик

[shahraz.livejournal.com]

Анатолий, прошу прощения, за оффтопик. Вы можете, как человек работающий в google прокомментировать:
http://shlakoblock.livejournal.com/531995.html?thread=3272731#t3272731

[ltwood.livejournal.com]

Я в свое время тоже совсем не понимал тензоров, но еще студентом разобрался, прочитав 7-й выпуск ФЛФ. Там все очень подробно и с примерами из теории упругости.