задачка (математическое)

[avva]

В рабочую рассылку прислали хорошую задачку.

У вас есть пять целых чисел N1, N2, N3, N4, N5. Вы повторяете следующую операцию: выбираете какое-нибудь отрицательное среди них, меняете его знак с минуса на плюс, и вычитаете его положительное значение из обоих его соседей. Например, если у вас есть [10, 5, -4, -8, 2] и выбрали -4, то получится [10, 1, 4, -12, 2]. У крайних чисел один из соседей берется с второго края (так, соседи N1 - N2 и N5). Обратите внимание, что сумма всех чисел после этой операции не меняется.

Дано, что вначале сумма всех чисел положительна. Доказать или опровергнуть: невзирая на то, как выбираются числа, после конечного числа операций отрицательных чисел не останется.

Комменты не скрываются.

Comments

[migmit.livejournal.com]

F(a,b,c,d,e) := a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+(a+b)^2+(b+c)^2+(c+d)^2+(d+e)^2+(e+a)^2 > 0
F(a,b+c,-c,d+c,e) = a^2+b^2+2bc+c^2+c^2+d^2+2cd+c^2+e^2+(a+b)^2+2(a+b)c+c^2+(b+c)^2-2(b+c)c+c^2+(c+d)^2-2(c+d)c+c^2+(d+e)^2+2(d+e)c+c^2+(e+a)^2 =
= F(a,b,c,d,e) + 2bc+c^2+2cd+c^2+2(a+b)c+c^2-2(b+c)c+c^2-2(c+d)c+c^2+2(d+e)c+c^2 =
= F(a,b,c,d,e) + c(2b+c+2d+c+2a+2b+c-2b-2c+c-2c-2d+c+2d+2e+c) =
= F(a,b,c,d,e) + 2c(a+b+c+d+e) < F(a,b,c,d,e)