хаотический футбол

[avva]

Гиль Калай пишет (англ.) о применении мат. анализа к футболу. Если поставить мяч на голову и начать бежать, мяч упадет назад. Если прислонить его к лбу и начать бежать, он упадет вперед. Согласно теореме о промежуточных значениях, есть такая точка на голове, что если поставить мяч в точности туда и побежать, он вообще не упадет.

Думаю, у Гиля Калая в его бытность подростком не получилось овладеть мастерством такого бега потому, что поведение мяча зависит от начального положения и от параметров бега хаотическим образом (старая запись, на которую ведет эта ссылка, была написала ровно год назад - совпадение совершенно случайное). Хоть и есть правильная точка для любой траектории бега, даже очень небольшое отклонение либо от нее, либо от выбранной траектории приведет к падению мяча -- и выдержать нужную точность просто не в человеческих силах.

(что происходит, если стараться балансировать мяч движениями головы - отдельный разговор...)

Comments

[ktotam.livejournal.com]

я честно говоря не очень понимаю то обсуждение, но там вроде бы говорится, что для нарушения непрерывности (отсутствия изолирующего блока) нужны, например, рессоры или неровности ж/д полотна. надо посмотреть ещё раз.
в исходной задаче у к&р и литлвуда и у стержня, и у поезда только одна степень свободы

[sowa.livejournal.com]

Да, рассуждение неверно уже для одной степени свободы. Достаточного представить себе фазовый портрет на квадрате. Фазовые кривые могут выходить на край, что соответствует падению стержня (мяча с головы). После того, как стержень упал, он больше не поднимется.

[ktotam.livejournal.com]

для нарушения непрерывности нужно, чтобы квадрат не был изолирующим блоком и чтобы фазовая кривая, касающаяся изнутри одного края квадрата, выходила из другого. мне не очень понятно, почему это реализуется для какого-то движения поезда с одной степенью свободы.
к чему в том комментарии к к&р сказано про рессоры и неровности? надо перечитать

[sowa.livejournal.com]

Про рессоры и неровности я ничего не помню. Это, наверное, для красочности. Стюарт (написавший все добавления) такое любит.

Пусть время горизонтально, а углы отложены по вертикали. Ничто не мешает всем фазовым кривым, кроме одной, соответствующей стержню, лежащему с углом 0 всю дорогу, уйти на одну из горизонтальных сторон квадрата.

Что касается реализации фазовых портретов движением поезда, то этим, очевидно, никто не занимался, поскольку поезд устроен слишком сложно.

[ktotam.livejournal.com]

почему никто не мешает? какому движению это соответствует?

"The continuity assumption can be resuscitated by imposing extra constraints on the motion, for example a perfectly level track, no springs on the train, and so forth."
-- вообще они никакие не extra

[sowa.livejournal.com]

Там на стр. 507 нарисован фазовый портрет еще лучше, чем я предложил, с траекториями, оканчивающимися на разных сторонах.

Я не вижу как восстановить непрерывность, не налагая слишком жестких условий. Скажем, если поезд едет с постоянной скоростью, то вертикальный стержень не упадет и просто останется вертикальным (и то надо пренебречь кривизной земной поверхности). Но это принцип относительности Галилея, а не теорема о среднем значении.

Условие perfectly level track на практике никогда не реализуется, поскольку есть стыки между рельсами. Рессоры тоже всегда есть.

[glukanat.livejournal.com]

А какую-то ссылочку можно на эту самую страницу?

[sowa.livejournal.com]

?

Курант, Роббинс, What is Mathematics? Издание 1996-го года.

[ktotam.livejournal.com]

ну понятно, что кривизна земли, стыки рельс, рессоры и количество выпитого машинистом тут ни при чём, это же не инженерная задача. в исходной задаче у поезда одна степень свободы, либо две (в горизонтальной плоскости)

[sowa.livejournal.com]

"фазовая кривая, касающаяся изнутри одного края квадрата, выходила из другого."

Этого я не понял. Достаточно касания края. Касающаяся траектория означает, что стержень упал. Все траектории с одной стороны от нее упадут на ту же сторону, а с другой можно нарисовать такой фазовый портрет, что все они упадут на другую. Несколько другими словами: множество траекторий, падающих в данную сторону, не обязательно открыто - близкие траектории могут падать на другую именно в случае касания.

[ktotam.livejournal.com]

ну да, я про то же.
грубо говоря, если фазовая кривая касается края, то поезд, если он не может прыгать вверх-вниз, должен в этот момент развить бесконечно большое ускорение. так что я пока не вижу, где глюк. здесь существенно, что границы соответствуют именно горизонтальному положению стержня; если ограничить движение стержня в пределах, скажем, плюс-минус градус от исходного положения, то ничего не выйдет.
чтобы все кривые, кроме кривой, соответствующей стержню, лежащему с углом 0 всю дорогу, уходили на одну из горизонтальных сторон, поезд опять же должен иметь бесконечное ускорение, причём с самого начала

[sowa.livejournal.com]

Не понял, откуда бесконечное ускорение.

[ktotam.livejournal.com]

чтобы поднять стержень из горизонтального положения.
иначе момент силы будет равен нулю.

[sowa.livejournal.com]

Все равно не понял. Стержень нельзя поднять из горизонтального положения. Фазовая кривая не продолжается, она там пунктирчиком нарисована.

[ktotam.livejournal.com]

конечно, нельзя, потому что ускорение поезда конечно. если предположить, что существует фазовая кривая, касающаяся изнутри границы, то для соседних кривых поезд поднимает стержень со сколь угодно маленького угла, что требует соответственно большого ускорения.

[sowa.livejournal.com]

Если вопрос спасения этого утверждения (доказательство всяко неверно) Вас так занимает, изложите, пожалуйста, Вашу теорию хотя бы с такой же степенью подробности, как Стюарт. Сформулируйте Ваши предположения (для меня неявные предположения в таких задачах обычно составляют непреодолимое препятствие: нужно ли учитывать трение? нужно ли учитывать релятивистские эффекты? и т.д.). Заметьте, что исходное рассуждение не содержит никаких предположений, и что Стюарт допускает существование модели, в которой отображение будет непрерывно. Так что вопрос состоит в том, насколько эта модель интересна и поучительна. Исходное рассужение поучительно, но неверно.

[ktotam.livejournal.com]

да не особо занимает.
я бы делал так: границы (0°, 180°) образуют изолирующий блок, фазовые кривые не могут касаться их изнутри => отображение, заданное потоком, непрерывно => если из какого-то начального положения стержень падает на 0, то он падает на 0 и из некоторой окрестности этого положения: множество начальных углов, из которых стержень падает на 0, открыто (аналогично со 180) => существует угол, из которого стержень не падает ни туда, ни туда (точная верхняя грань того множества, например).

естественно, трение, неровность полотна, релятивистские эффекты, квантовую природу поезда и всё остальное, явно не оговоренное в условии, не учитываем. задачу считаем математической, а не инженерной и не физической. то, что при введении дополнительных условий отображение уже необязательно будет непрерывным, в принципе и так легко понять, и необязательно для этого разрешать поезду прыгать вверх-вниз, как тому футболисту, достаточно просто сделать границы отличающимися от 0 и 180°

[sowa.livejournal.com]

Ну, это некоторое жульничество. Вы предполагаете, что ситуация, описанная Стюартом (касание) не имеет места. Ясен пень, что тогда и выводы, сделанные в этой ситуации, теряют силу. Получается тавтология.

Пересказывать доказательство теоремы о промежуточном значении, право, было не нужно.

А вывод отсутствия касания из реалистических физических и инженерных предположений мог бы быть поучительным. Хотя это, конечно, другая задача, не та, которую обсуждали Курант и Роббинс и Калай.

[ktotam.livejournal.com]

по-моему, я объяснил, почему в исходных условиях касание не может иметь места. это следует из определения момента силы и из конечности ускорения поезда.
попробуйте представить себе, каким должно быть движение, чтобы произошло такое касание.

Пересказывать доказательство теоремы о промежуточном значении, право, было не нужно.
ну вы же просили сказать, почему прообраз 0 будет открытым )

[sowa.livejournal.com]

К сожалению, я не понял Вашего объяснения. Равно как и не понял, что у Вас "исходные условия".

[ktotam.livejournal.com]

условия простые: поезд с одной степенью свободы, рельсы расположены горизонтально, сила тяжести направлена вертикально, действуют законы ньютона, не действуют никакие дополнительных факторы, не указанные в условии (типа трения, деформации и т.п.)

а какое место вам непонятно? чтобы удержать в равновесии стержень, на который действует сила тяжести и который расположен под углом a к горизонту, нужно приложить горизонтальную силу, по модулю пропорциональную котангенсу угла, так?

[ktotam.livejournal.com]

в общем, я склонен думать, что можно было бы, конечно, расписать поподробнее, почему множество начальных углов, из которых стержень упадёт скажем направо, открыто, но в общем стюарт там не по делу придирается.

[sowa.livejournal.com]

Ну напишите. А то как-то неубедительно получается. Утверждение "я склонен думать" недостаточно для того, чтобы опровергнуть математическое рассуждение.

[sowa.livejournal.com]

Вы делаете несколько странное утверждение, противоречащее главному предположению, сделанному в доказательстве: непрерывности. Именно, Вы утверждаете, что прообраз замкнутого множества (состоящего из угла в 0 градусов), открыт.

[ktotam.livejournal.com]

(неправильно сформулировал)
непрерывным здесь является отображение точек входа в прямоугольник (0°,180°)(0,T) на точки выхода.
непрерывность эквивалентна отсутствию внутренних касательных (изолирующий блок)