задачка (математическое)

[avva]

Возможно, эта задачка непростая. Я ее пока не решил. Условие красивое.

Дан выпуклый многогранник. На каждой грани сидит муравей, и ползет по периметру своей грани против часовой стрелки. Все муравьи ползут с одинаковой скоростью. Доказать, что рано или поздно два муравья встретятся.

Comments

направления

[falcao.livejournal.com]

В Вашем примере направления движения не согласованы.

По условию, если мы смотрим на грань, то соответствующий ей муравей обходит её против часовой стрелки. Поэтому, когда "муравей основания" приближается к середине ребра, то сидящий в этой точке муравей должен бежать навстречу, и они почти сразу столкнутся.

Re: направления

[biglebowsky.livejournal.com]

Нет. Все движение по ребрам основания идет только против часовой стрелки.

сверху и снизу

[falcao.livejournal.com]

Давайте введём обозначения и проверим. Нарисуем на плоскости треугольник ABC так, что если смотреть на него сверху, то движения A -> B -> C -> A совершаются против часовой стрелки. Четвёртую вершину S тетраэдра расположим над плоскостью. Тогда муравей, отвечающий грани SAB проходит вершины в порядке S, A, B, ... .

Муравей, отвечающий основанию, должен двигаться против часовой стрелки, если на неё смотреть снизу, и поэтому порядок прохождения вершин будет противоположен тому, который был указан выше, когда мы смотрели сверху. А именно, он будет такой: A, C, B, A, ... . (То есть когда мы смотрим только сверху, нам кажется, что движение осуществляется по часовой стрелке.)

Итак, если C_1 есть середина AB, и там сидит муравей грани SAB, то в описанной Вами ситуации к нему в какой-то момент будет приближаться муравей основания, движущийся по направлению от B к A. А муравей грани SAB движется по отрезку AB в противоположном направлении -- от A к B. Поэтому муравьи при таком плане движения встретятся.

Re: сверху и снизу

[biglebowsky.livejournal.com]

Re: Муравей, отвечающий основанию, должен двигаться против часовой стрелки, если на неё смотреть снизу

Нет. В моем примере он двигается А->B->C->A.

несоответствие

[falcao.livejournal.com]

Тогда Ваш пример просто не соответствует условию задачи. Ведь что значит, что каждую грань муравей обходит против часовой стрелки? Это значит, что если мы на многогранник смотрим извне, имея перед глазами какую угодно грань, то наблюдаем движение против часовой стрелки. Взглядом извне на грань ABC будет взгляд снизу, а не сверху. Поэтому для того, кто смотрит сверху, то есть с противоположной стороны, движение по грани ABC должно казаться движением по часовой стрелке, и вершины проходятся как A -> C -> B -> A.

Впрочем, хозяин журнала уже поместил новый пост, где решение задачи изложено.

Моя ошибка

[biglebowsky.livejournal.com]

Вы полностью правы.
Я не обратил внимание на ключевое условие: направление обхода задано. Я полагал его произвольным.

Соответсвенно, все мои комментарии были неправильны.