две задачки
Jan. 2nd, 2002 09:08 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaРазбирая всякие очень старые бумаги, наткнулся на несколько листов с задачками примерно-олимпиадного стиля. Вот две из них, обе геометрические, решения которых мне запомнились с тех времён своей изобретательностью. Профессиональным математикам: если задачки для вас тривиальны, не обессудьте 
. Всем: если интересно, попробуйте решить.
Хотелось бы считать это прелюдией к длинной записи о мат. доказательствах, которую давно хочется сформулировать, но не получается.
1. Дана фигура на плоскости. Всё, что о ней известно - её площадь строго меньше единицы. Расчертим на плоскости целочисленную координатную сетку (т.е. горизонательные и вертикальные линии на расстоянии 1 друг от друга). Доказать: данную фигуру можно так положить на плоскость, что она не пересечёт ни одну вершину сетки (т.е. ни одно перекрестье линий).
2. Дано некоторое конечное кол-во точек на плоскости со следующим свойством: если провести прямую через любые две из них, эта же прямая пройдёт ещё через какую-то из данных точек (к-я необязательно будет находится между двумя начальными). Доказать: все точки находятся на одной прямой.
Если правильные решения не появятся в комментах, то запощу их сюда через сутки.
Update: появились первые решения... но пока неправильные ;)
Update: появилось правильное решение первой задачи в комментах. Правильное решение второй, если там не появится, запощу не завтра утром, а послезавтра по просьбе товарищей.
. Всем: если интересно, попробуйте решить.Хотелось бы считать это прелюдией к длинной записи о мат. доказательствах, которую давно хочется сформулировать, но не получается.
1. Дана фигура на плоскости. Всё, что о ней известно - её площадь строго меньше единицы. Расчертим на плоскости целочисленную координатную сетку (т.е. горизонательные и вертикальные линии на расстоянии 1 друг от друга). Доказать: данную фигуру можно так положить на плоскость, что она не пересечёт ни одну вершину сетки (т.е. ни одно перекрестье линий).
2. Дано некоторое конечное кол-во точек на плоскости со следующим свойством: если провести прямую через любые две из них, эта же прямая пройдёт ещё через какую-то из данных точек (к-я необязательно будет находится между двумя начальными). Доказать: все точки находятся на одной прямой.
Если правильные решения не появятся в комментах, то запощу их сюда через сутки.
Update: появились первые решения... но пока неправильные ;)
Update: появилось правильное решение первой задачи в комментах. Правильное решение второй, если там не появится, запощу не завтра утром, а послезавтра по просьбе товарищей.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2002-01-02 01:55 am (UTC)Ïåðâàÿ - íà òåõíèêó. Ñòðîèì ïîêðûòèå ôèãóðû êîîðäèíàòíîé ñåòêîé ñ øàãîì d òàê, ÷òîáû ñóììà ïëîùàäåé êâàäðàòèêîâ, âêëþ÷àþùèõ òî÷êè ôèãóðû áûëà ìåíüøå 1 (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî îïðåäåëåíèþ ïëîùàäè êàê æîðäàíîâîé ìåðû), ïîñëå ÷åãî ñòðîèì èñêîìóþ ñåòêó òàê, ÷òîáû îíà íå ïîïàëà â íàáîð èç êîíå÷íîãî ÷èñëà îäèíàêîâûõ êâàäðàòèêîâ. Íó òàì ïðîâåñòè îêðóæíîñòü â ïðàâèëüíîì ìåñòå òàêóþ, ÷òîáû îïèñûâàëà åäèíè÷íûé êâàäðàò, ïîñòðîèòü íà òîì êâàäðàòå ñåòêó è ïîâîðà÷èâàòü åå, èëè ïðîñòî äâèãàòü. Åñëè óòðåííÿÿ ëåíü ïðîéäåò, äîäåëàþ.
no subject
Date: 2002-01-02 02:27 am (UTC)Áåðåì øàã ìàëîé ñåòêè d=1/n, ñòðîèì îïèñàííîå âûøå ïîêðûòèå, êëàäåì íà íåãî ñâåðõó ñåòêó ñ øàãîì 1 òàê, ÷òîáû îíà ïðîøëà ïî ãðàíèöàì.
Ó êàæäîãî êâàäðàòèêà ìåëêîãî ïîêðûòèÿ åñòü êîîðäèíàòû â ñîîòâåòñòâóþùåì êâàäðàòå åäèíè÷íîé ñåòêè. Ïåðåíîñèì âñå êâàäðàòèêè, â êîòîðûõ åñòü òî÷êè ôèãóðû, â îäèí êâàäðàò, ñîõðàíÿÿ ýòè îòíîñèòåëüíûå êîîðäèíàòû. Êâàäðàò áóäåò ïîêðûò íå ïîëíîñòüþ (ñì. âûøå). Áåðåì ëþáóþ íåïîêðûòóþ òî÷êó, áåðåì òî÷êè ñ òàêèìè îòíîñèòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè âî âñåõ êâàäðàòàõ åäèíè÷íîé ñåòêè. Ýòî è åñòü èñêîìîå ïîêðûòèå.
Äåéñòâèòåëüíî, ÷èñòàÿ òåõíèêà ìàòàíàëèçà.
no subject
Date: 2002-01-02 02:35 am (UTC)Êñòàòè, òîãäà è ìåëêîå ïîêðûòèå ñòðîèòü íå íàäî. Ïðîñòî áåðåì ëþáóþ åäèíè÷íóþ ñåòêó, ðåæåì ôèãóðó íà êóñî÷êè, ïåðåíîñèì â îäèí êâàäðàò, èùåì â íåì íåïîêðûòóþ òî÷êó è ñòðîèì ïî íåé ñåòêó. Âñå.
no subject
Date: 2002-01-02 02:42 am (UTC)no subject
Date: 2002-01-02 03:59 am (UTC)Òàê ÷òî ïîëüçóåìñÿ òîëüêî î÷åíü òðèâèàëüíûìè ñâîéñòâàìè ïëîùàäè (àääèòèâíîñòü, èíâàðèàíòíîñòü ïðè ïåðåíîñå... íó åù¸ íóëåâàÿ ïëîùàäü îòðåçêîâ, ÷òîáû ñ ãðàíèöàìè êâàäðàòîâ íå ìó÷àòüñÿ).
Re:
Date: 2002-01-02 04:37 am (UTC) îáùåì, çàäà÷à îëèìïèàäíàÿ, à ÿ ïîëåç â ãëóáèíó. Íó è Áîã ñ íèì.
no subject
Date: 2002-01-02 04:42 am (UTC)no subject
Date: 2002-01-02 02:42 am (UTC)È âîîáùå íèêàêîãî àíàëèçà íå íàäî.
Ïðàâäà, êðàñèâî âñ¸-òàêè?
no subject
Date: 2002-01-02 02:54 am (UTC)À ïîñëåäíåå ïðèìå÷àíèå ?
Ìàëåíüêèå êâàäðàòèêè íèêóäà íå äåâàþòñÿ, îíè ïðîñòî ïðÿ÷óòñÿ â "ïëîùàäü".
Òàê ñêàçàòü, èíòåðàêòèâíîå èçëîæåíèå ïðîöåññà ïîèñêà, óïðîùåíèÿ è îáîñíîâàíèÿ ðåøåíèÿ ïîëó÷èëîñü.
no subject
Date: 2002-01-02 03:01 am (UTC)Òàê ïîêà è íå çíàþ, ñìîã ëè îáúÿñíèòü, êàê ïðàâèëüíî èñêàòü áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé íåïîëíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû. Òàì æå âûêëàäêè íà ñòðàíèöû.
Òÿæåëà è íåêàçèñòà æèçíü ïðîñòîãî ôèíàíñèñòà ;-).