две задачки
Jan. 2nd, 2002 09:08 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaРазбирая всякие очень старые бумаги, наткнулся на несколько листов с задачками примерно-олимпиадного стиля. Вот две из них, обе геометрические, решения которых мне запомнились с тех времён своей изобретательностью. Профессиональным математикам: если задачки для вас тривиальны, не обессудьте 
. Всем: если интересно, попробуйте решить.
Хотелось бы считать это прелюдией к длинной записи о мат. доказательствах, которую давно хочется сформулировать, но не получается.
1. Дана фигура на плоскости. Всё, что о ней известно - её площадь строго меньше единицы. Расчертим на плоскости целочисленную координатную сетку (т.е. горизонательные и вертикальные линии на расстоянии 1 друг от друга). Доказать: данную фигуру можно так положить на плоскость, что она не пересечёт ни одну вершину сетки (т.е. ни одно перекрестье линий).
2. Дано некоторое конечное кол-во точек на плоскости со следующим свойством: если провести прямую через любые две из них, эта же прямая пройдёт ещё через какую-то из данных точек (к-я необязательно будет находится между двумя начальными). Доказать: все точки находятся на одной прямой.
Если правильные решения не появятся в комментах, то запощу их сюда через сутки.
Update: появились первые решения... но пока неправильные ;)
Update: появилось правильное решение первой задачи в комментах. Правильное решение второй, если там не появится, запощу не завтра утром, а послезавтра по просьбе товарищей.
. Всем: если интересно, попробуйте решить.Хотелось бы считать это прелюдией к длинной записи о мат. доказательствах, которую давно хочется сформулировать, но не получается.
1. Дана фигура на плоскости. Всё, что о ней известно - её площадь строго меньше единицы. Расчертим на плоскости целочисленную координатную сетку (т.е. горизонательные и вертикальные линии на расстоянии 1 друг от друга). Доказать: данную фигуру можно так положить на плоскость, что она не пересечёт ни одну вершину сетки (т.е. ни одно перекрестье линий).
2. Дано некоторое конечное кол-во точек на плоскости со следующим свойством: если провести прямую через любые две из них, эта же прямая пройдёт ещё через какую-то из данных точек (к-я необязательно будет находится между двумя начальными). Доказать: все точки находятся на одной прямой.
Если правильные решения не появятся в комментах, то запощу их сюда через сутки.
Update: появились первые решения... но пока неправильные ;)
Update: появилось правильное решение первой задачи в комментах. Правильное решение второй, если там не появится, запощу не завтра утром, а послезавтра по просьбе товарищей.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
no subject
Date: 2002-01-02 12:56 am (UTC)no subject
Date: 2002-01-02 01:04 am (UTC)íî òîãäà åå ïëîùàäü áîëüøå åäèíèöû, ò.ê., ýòî ìèíèìàëüíûå èçìåðåíèÿ >1 (èíà÷å ìîæíî áûëî áû ñäâèíóòü ñåòêó).
À ñ òî÷êàìè íà ïðÿìîé - ñìåñü èíäóêöèè è ìåòîäà "îò ïðîòèâíîãî"?
no subject
Date: 2002-01-02 01:12 am (UTC)Ïî÷åìó? ß óæå çà ýòèì øàãîì íå ìîãó óñëåäèòü.
×òî êàñàåòñÿ âòîðîé çàäà÷è - äàéòå ïîëíîå ðåøåíèå, òîãäà áóäåì ãîâîðèòü ;)
no subject
Date: 2002-01-02 01:24 am (UTC)Âòîðàÿ ðåøàåòñÿ ïî èíäóêöèè (http://www.livejournal.com/talkread.bml?itemid=19044631).
no subject
(no subject)
From:no subject
Date: 2002-01-02 01:40 am (UTC)Íàäî áóäåò ÷òî-íèáóäü øàõìàòíîå ïîäêèíóòü...
no subject
Date: 2002-01-02 01:59 am (UTC)Ìåæäó ïðî÷èì, ó ìåíÿ óæå áûë òàêîé îäèí ðàç, ñåé÷àñ íàéäó.
Âîò: http://www.livejournal.com/talkread.bml?itemid=5016378
Ðåêîìåíäóþ.
Åñëè ðåøèòå, òî çàïîñòèòå ðåøåíèå ãäå-íèáóäü: òàì, çäåñü, ó ñåáÿ - íåâàæíî ;) ìíå èíòåðåñíî ñî ñâîèì ñðàâíèòü.
Re:
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:Re:
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:Re: õåð òåáå
From:no subject
Date: 2002-01-02 01:55 am (UTC)Ïåðâàÿ - íà òåõíèêó. Ñòðîèì ïîêðûòèå ôèãóðû êîîðäèíàòíîé ñåòêîé ñ øàãîì d òàê, ÷òîáû ñóììà ïëîùàäåé êâàäðàòèêîâ, âêëþ÷àþùèõ òî÷êè ôèãóðû áûëà ìåíüøå 1 (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî îïðåäåëåíèþ ïëîùàäè êàê æîðäàíîâîé ìåðû), ïîñëå ÷åãî ñòðîèì èñêîìóþ ñåòêó òàê, ÷òîáû îíà íå ïîïàëà â íàáîð èç êîíå÷íîãî ÷èñëà îäèíàêîâûõ êâàäðàòèêîâ. Íó òàì ïðîâåñòè îêðóæíîñòü â ïðàâèëüíîì ìåñòå òàêóþ, ÷òîáû îïèñûâàëà åäèíè÷íûé êâàäðàò, ïîñòðîèòü íà òîì êâàäðàòå ñåòêó è ïîâîðà÷èâàòü åå, èëè ïðîñòî äâèãàòü. Åñëè óòðåííÿÿ ëåíü ïðîéäåò, äîäåëàþ.
no subject
Date: 2002-01-02 02:27 am (UTC)Áåðåì øàã ìàëîé ñåòêè d=1/n, ñòðîèì îïèñàííîå âûøå ïîêðûòèå, êëàäåì íà íåãî ñâåðõó ñåòêó ñ øàãîì 1 òàê, ÷òîáû îíà ïðîøëà ïî ãðàíèöàì.
Ó êàæäîãî êâàäðàòèêà ìåëêîãî ïîêðûòèÿ åñòü êîîðäèíàòû â ñîîòâåòñòâóþùåì êâàäðàòå åäèíè÷íîé ñåòêè. Ïåðåíîñèì âñå êâàäðàòèêè, â êîòîðûõ åñòü òî÷êè ôèãóðû, â îäèí êâàäðàò, ñîõðàíÿÿ ýòè îòíîñèòåëüíûå êîîðäèíàòû. Êâàäðàò áóäåò ïîêðûò íå ïîëíîñòüþ (ñì. âûøå). Áåðåì ëþáóþ íåïîêðûòóþ òî÷êó, áåðåì òî÷êè ñ òàêèìè îòíîñèòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè âî âñåõ êâàäðàòàõ åäèíè÷íîé ñåòêè. Ýòî è åñòü èñêîìîå ïîêðûòèå.
Äåéñòâèòåëüíî, ÷èñòàÿ òåõíèêà ìàòàíàëèçà.
no subject
Date: 2002-01-02 02:35 am (UTC)Êñòàòè, òîãäà è ìåëêîå ïîêðûòèå ñòðîèòü íå íàäî. Ïðîñòî áåðåì ëþáóþ åäèíè÷íóþ ñåòêó, ðåæåì ôèãóðó íà êóñî÷êè, ïåðåíîñèì â îäèí êâàäðàò, èùåì â íåì íåïîêðûòóþ òî÷êó è ñòðîèì ïî íåé ñåòêó. Âñå.
(no subject)
From:(no subject)
From:Re:
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2002-01-02 06:16 am (UTC)ÿ áû òàê íå áðîñàëàñü ñëîâàìè -
Date: 2002-01-02 11:25 am (UTC)Ïðîñòîå ðåøåíèå íå åñòü îáÿçàòåëüíî òðèâèàëüíîå.
Îñîáåííî, åñëè ó÷åñòü, ÷òî âû òàê è íå äàëè ðåøåíèå âòîðîé :-), à ïðîñòî ïåðåôîðìóëèðîâàëè óñëîâèå.
Ìíå ïðèâîäèòü çäåñü ðåøåíèå íå î÷åíü ÷åñòíî. Âî-ïåðâûõ, ÿ ìàòåìàòèê, à âî-âòîðûõ ïðîôåññèîíàëüíî çàíèìàëàñü îëèìïèàäàìè, òàê ÷òî îáå çàäà÷è ðåøàëà êëàññå â ñåäüìîì-âîñüìîì :-) (÷òî, òåì íå ìåíåå, íå îçíà÷àåò èõ î÷åâèäíîñòü.)
Re: ÿ áû òàê íå áðîñàëàñü ñëîâàìè -
From:Re: ÿ áû òàê íå áðîñàëàñü ñëîâàìè -
From:Re: ÿ áû òàê íå áðîñàëàñü ñëîâàìè -
From:Re: ÿ áû òàê íå áðîñàëàñü ñëîâàìè -
From:Re: ÿ áû òàê íå áðîñàëàñü ñëîâàìè -
From::-)
From:Re: ÿ áû òàê íå áðîñàëàñü ñëîâàìè -
From:no subject
Date: 2002-01-02 07:38 am (UTC)Ufff.... A ja-to bylo uzhe podumal chto sovsem uzhe otupel ;)
Vtoraja dejstvitel'no krasivo reshaetsja, esli ja konechno
ne oshibajus' ( na kartinke poluchaetsja chto-to tipa kolodtsa
to the hell ), a vot s pervoj nichego ne pridumyvaetsja poka ...
À ìîæíî
Date: 2002-01-02 10:40 am (UTC)Re: À ìîæíî
êàê ï÷åëîâåê, ïèøóùèé â ãðàôå "ïðîôåññèÿ" - mathematikerin
Date: 2002-01-02 11:27 am (UTC)Re: êàê ï÷åëîâåê, ïèøóùèé â ãðàôå "ïðîôåññèÿ" - mathematikerin
no subject
Date: 2002-01-02 12:50 pm (UTC)Âòoðàÿ - ïðoùe, ïoñêoëüêó ëeãêo äoêàçàòü oáðàòíoe ( òo eñòü, óòâeðæäeíèe - íeâeðío ), ïoñòðoèâ êoíòð-ïðèìeð. -:)
ñêàæeì, âçÿòü 9 òo÷eê, 3 ãðóïïû ïo 3 òo÷êè.  êàæäoé ãðóïïe - òo÷êè ðàñïoëoæeíû íà oäíoé ïðÿìoé, èòoão - òðè ñoâeðøeíío ðàçíûe
ïðÿìûe... Òðeòüÿ òo÷êà íe oáÿçàòeëüío ëeæèò ìeæäó äâóõ äàííûõ...
Çàäà÷à ïðèoáðeòàeò ñìûñë, eñëè èçìeíèòü óñëoâèe â ñêoáêàõ: òðeòüÿ òo÷êà äoëæíà áûòü âñeãäà âíeøíeé ê äâóì äàííûì.
Òoãäà... oíà ëeãêo ðeøàeòñÿ ìeòoäoì èíäóêöèè.
no subject
Date: 2002-01-02 05:00 pm (UTC)ñêàæeì, âçÿòü 9 òo÷eê, 3 ãðóïïû ïo 3 òo÷êè.  êàæäoé ãðóïïe - òo÷êè ðàñïoëoæeíû íà oäíoé ïðÿìoé, èòoão - òðè ñoâeðøeíío ðàçíûe
ïðÿìûe... Òðeòüÿ òo÷êà íe oáÿçàòeëüío ëeæèò ìeæäó äâóõ äàííûõ...
Íåò, åñëè Âû ïîïðîáóåòå ýòî íàðèñîâàòü, òî óâèäèòå, ÷òî åñòü äâå òî÷êè (èç ðàçíûõ ãðóïï), òàê ÷òî ïðÿìàÿ ìåæäó íèìè íå ïåðåñåêàåò íè îäíîé äðóãîé.
Re:
From:(no subject)
From:Re:
From:(no subject)
From:Re:
From:Re: utochnenie
From:no subject
Date: 2002-01-02 01:56 pm (UTC)Òåïåðü, ò.ê. ïëîùàäü À ñòðîãî ìåíüøå 1, íàéäåòñÿ òî÷êà õ, ñîäåðæàùàÿñÿ â [0,1)x[0,1), íî íå â À. Ñäâèãàÿ íà -õ, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.
Âòîðàÿ òîæå ïðîùóïûâàåòñÿ, íî ïîïîçæå.
no subject
à âîò êîãäà
Date: 2002-01-03 11:42 am (UTC)Äóìàþ,
From:no subject
Date: 2002-01-02 06:17 pm (UTC)no subject
Date: 2002-01-02 06:19 pm (UTC)(no subject)
From:Ïðî ïðÿìûå ñäàþñü
Date: 2002-01-03 07:58 pm (UTC)Ïîçîð Ôðàíöóçèêó, íî áîëüøå íå ìîãó.
Re: Ïðî ïðÿìûå ñäàþñü
Date: 2002-01-03 08:27 pm (UTC)Èçþìèíêà çàäà÷è êàê ðàç ñîñòîèò â ÷ðåçâû÷àéíî àíòè-èíòóèòèâíîé íåîáõîäèìîñòè îáðàòèòüñÿ ê ìåòðèêå.