две задачки
Jan. 2nd, 2002 09:08 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaРазбирая всякие очень старые бумаги, наткнулся на несколько листов с задачками примерно-олимпиадного стиля. Вот две из них, обе геометрические, решения которых мне запомнились с тех времён своей изобретательностью. Профессиональным математикам: если задачки для вас тривиальны, не обессудьте 
. Всем: если интересно, попробуйте решить.
Хотелось бы считать это прелюдией к длинной записи о мат. доказательствах, которую давно хочется сформулировать, но не получается.
1. Дана фигура на плоскости. Всё, что о ней известно - её площадь строго меньше единицы. Расчертим на плоскости целочисленную координатную сетку (т.е. горизонательные и вертикальные линии на расстоянии 1 друг от друга). Доказать: данную фигуру можно так положить на плоскость, что она не пересечёт ни одну вершину сетки (т.е. ни одно перекрестье линий).
2. Дано некоторое конечное кол-во точек на плоскости со следующим свойством: если провести прямую через любые две из них, эта же прямая пройдёт ещё через какую-то из данных точек (к-я необязательно будет находится между двумя начальными). Доказать: все точки находятся на одной прямой.
Если правильные решения не появятся в комментах, то запощу их сюда через сутки.
Update: появились первые решения... но пока неправильные ;)
Update: появилось правильное решение первой задачи в комментах. Правильное решение второй, если там не появится, запощу не завтра утром, а послезавтра по просьбе товарищей.
. Всем: если интересно, попробуйте решить.Хотелось бы считать это прелюдией к длинной записи о мат. доказательствах, которую давно хочется сформулировать, но не получается.
1. Дана фигура на плоскости. Всё, что о ней известно - её площадь строго меньше единицы. Расчертим на плоскости целочисленную координатную сетку (т.е. горизонательные и вертикальные линии на расстоянии 1 друг от друга). Доказать: данную фигуру можно так положить на плоскость, что она не пересечёт ни одну вершину сетки (т.е. ни одно перекрестье линий).
2. Дано некоторое конечное кол-во точек на плоскости со следующим свойством: если провести прямую через любые две из них, эта же прямая пройдёт ещё через какую-то из данных точек (к-я необязательно будет находится между двумя начальными). Доказать: все точки находятся на одной прямой.
Если правильные решения не появятся в комментах, то запощу их сюда через сутки.
Update: появились первые решения... но пока неправильные ;)
Update: появилось правильное решение первой задачи в комментах. Правильное решение второй, если там не появится, запощу не завтра утром, а послезавтра по просьбе товарищей.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Re:
Date: 2002-01-03 09:47 am (UTC)Ío äàâàé ïoïðoáóeì â ëoá:
Ðàññìoòðèì ïðÿìóþ, ïoëó÷eííoé ñoeäèíeíèeì ïðoèçâoëüío âçÿòûõ äâóõ òo÷eê è oáeùàííoé èì òeðòüeé íà òoé æe ïðÿìoé
Âñeão eñòü N òo÷eê. Ïóñòü eñòü oäíà, íe ëeæàùàÿ íà òoé æe ïðÿìoé. Äëÿ íee è ëþáoé äðóãoé òo÷êè - ïðoâoäèì âòoðóþ ïðÿìóþ
è íàõoäèì oáÿçàòeëüíóþ 3-óþ òo÷êó...
Ñêoëüêo æe ïeðeñeêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, ñoeäèíÿþùèõ òo÷êè ìû ìoæeì ïðoâeñòè ?
Ìû ðàññìàòðèâàeì ñàìûé âûðoæäeííûé ñëó÷àé êoãäà eñòü òoëüêo òðè òo÷êè íà oäíoé ïðÿìoé, à âñe oñòàëüíûe - íà äðóãoé.
Äàæe â òàêoì ñëó÷àe, Ìèíèìàëüíoe ÷èñëo íeñoâïàäàþùèõ ïðÿìûõ oêàæeòñÿ 3 * ( N - 3 ).....
òo eñòü, áoëüøe, ÷eì ÷èñëo òo÷eê â ñèñòeìe äëÿ âñÿêoão N > 4. Ïoñêoëüêó ïðÿìûe ïðoâoäèëèñü ÷eðeç òo÷êè, ïðèøëè ê ïðoòèâoðe÷èþ.