задачка, математическое

[avva]

Доказать или опровергнуть: для какого-то n≥1 существует многочлен от n вещественных переменных с образом, равным R+, т.е. все строго положительные числа.

(update: я перестаю скринить комменты и открываю все правильные решения. Их много, первыми правильно ответили аноним, xgrbml и grur. Если хотите еще думать самостоятельно, не читайте комментарии).

Comments

[spamsink.livejournal.com]

x₁²+x₂²+...+x_n²+1
Или я что-то упускаю?

[avva.livejournal.com]

Упускаешь - у этого многочлена образ [1,∞), а требуется (0,∞).

[glex1.livejournal.com]

sum {x_i}^2
i от 1 до n

Доказательство:
отрицательных нет, потому что все квадраты
нужно положительное a, делаем x_2..x_n нулями, x_1 = sqrt a

[avva.livejournal.com]

Это не работает, потому что в образе не должно быть нуля.

[avva.livejournal.com]

Кстати, n на ваш выбор, т.е. если доказывать существование, можно выбрать любое конкретное n. Только если опровергать, надо опровергнуть для всех возможных n. Я чуть подправил условие, чтобы это стало яснее.

[chorti-shto.livejournal.com]

Нет такого многочлена. R+ это открытое множество, а образ многочлена должен содержать свои предельные точки в силу непрерывности.

[yigal_s]

1. у многочлена может быть лишь ограниченное число локальных экстремумов
2. среди которых есть минимальный
3. если многочлен принимает значение меньше этого экстремума, то он уходит в минус бесконечность
4. иначе среди всех значений многочлена есть минимальное - значение минимального экстремума
5. соответственно он не может принимать всех значений на +R

[spamsink.livejournal.com]

Пардон. Я почему-то понял "все строго положительные числа" как "все значения многочлена должны быть строго положительны".

[(Anonymous)]

1 + x^2 - 2*atan(y^2)/pi

(by ferr)

[avva.livejournal.com]

Это не многочлен.

[avva.livejournal.com]

1. У многочлена f(x,y)=x^2 есть бесконечное число локальных экстремумов.

[(Anonymous)]

а если в бесконечный ряд разложить, то будет считаться многочленом?

(by ferr)

[yigal_s]

а бесконечные ряды будем считать многочленами?

Если да, то что-то вроде
(1+cos x)+(1+sin(pi*x) ) * exp x

могло бы прокатить.

[ygam.livejournal.com]

тьфу, от нескольких переменных, а не от одной.

[avva.livejournal.com]

Нет.

[avva.livejournal.com]

Не будем.

[vanja-y.livejournal.com]

Экспонента непрерывна, но при этом её образ R+.

[avva.livejournal.com]

Да, разрешается от нескольких.

[posic.livejournal.com]

Хорошая задачка. (Решения не знаю.)

[yuly.livejournal.com]

Не существует
Д-во:
Пусть P такой многочлен степени m, P = X^m + X^m-1 + ... , где X^k - однородная форма степени k
1. Существует D > 0 такое, что P(X) > 2 если X находится вне шара радиуса D
2. Пусть Z1, Z2, ... Zk .. последовательность точек такая что P(Zk) < 1/k.
Taкaя последовательность существует и все точки внутри компактного шара радиуса D,
выберем сходящуюся подпоследовательность, по непрерывности многочлена P значение в предельной точке будет равно 0.

[avva.livejournal.com]

Ваш пункт 1. вызывает подозрения. Почему существует?

[glex1.livejournal.com]

Понятно, что если есть такой многочлен, то у него обязательно будет положительный свободный член (иначе занулим иксы, и будет плохо).

Значит по сути существование такого многочлена равносильно существованию многочлена P без свободных членов c образом нестрого зажатым константой слева, и неограниченным справа. (1)

Выносим x_1 откуда можно, получается вот это
x_1 * p(x_1, ..., x_n) + b(x_2, ... x_n)

b должен быть зажат чем-то слева (i.e. условие 1) иначе всё плохо при x_1 равном нулю (unless b(x_2, ..., x_n) = 0 for all x_2...x_n)
Но в b многочлен от n - 1 переменной, спускаемся для него до многочлена от 1й переменной, для которого докажем далее.
Если b(x_2, ..., x_n) равен нулю for all x_2, ... x_n, то зафиксируем x_2...x_n и получим многочлен от одной переменной x_1 (со свободным членом, который уберём сразу в границу) который должен удовлетворять (1).

Для многочлена от 1й переменной минимум всегда достижим (что плохо, потому что левая граница нестрогая) или -INF (что плохо, потому что граница есть).

Где лажа? ;)
Я чувствую что есть, но не вижу (3:30 утра тут)

[yuly.livejournal.com]

Старшая форма растет быстрее.
Оценка для формы степени k:
A * R^k < Abs(X^k) < B * R^k, где R - радиус шара, A, B - const

Д-во:
1. Abs(X^k) < B * R^k
заменим все слагаемые в форме на Abs и переменные на R
2. A * R^k < Abs(X^k)
используем классическое неравенство (средне арифметическое больше средне геометрического) и в средне геометрической части
заменим все слагаемые в форме на Abs и переменные на R.

[(Anonymous)]

1 - 2 xy + 4 x²y²

[xgrbml.livejournal.com]

Правда что ли? Со школы знал.