задачка, математическое

[avva]

Доказать или опровергнуть: для какого-то n≥1 существует многочлен от n вещественных переменных с образом, равным R+, т.е. все строго положительные числа.

(update: я перестаю скринить комменты и открываю все правильные решения. Их много, первыми правильно ответили аноним, xgrbml и grur. Если хотите еще думать самостоятельно, не читайте комментарии).

Comments

[spamsink.livejournal.com]

x₁²+x₂²+...+x_n²+1
Или я что-то упускаю?

[avva.livejournal.com]

Упускаешь - у этого многочлена образ [1,∞), а требуется (0,∞).

[glex1.livejournal.com]

sum {x_i}^2
i от 1 до n

Доказательство:
отрицательных нет, потому что все квадраты
нужно положительное a, делаем x_2..x_n нулями, x_1 = sqrt a

[avva.livejournal.com]

Это не работает, потому что в образе не должно быть нуля.

[chorti-shto.livejournal.com]

Нет такого многочлена. R+ это открытое множество, а образ многочлена должен содержать свои предельные точки в силу непрерывности.

[vanja-y.livejournal.com]

Экспонента непрерывна, но при этом её образ R+.

[yigal_s]

1. у многочлена может быть лишь ограниченное число локальных экстремумов
2. среди которых есть минимальный
3. если многочлен принимает значение меньше этого экстремума, то он уходит в минус бесконечность
4. иначе среди всех значений многочлена есть минимальное - значение минимального экстремума
5. соответственно он не может принимать всех значений на +R

[avva.livejournal.com]

1. У многочлена f(x,y)=x^2 есть бесконечное число локальных экстремумов.

[(Anonymous)]

1 + x^2 - 2*atan(y^2)/pi

(by ferr)

[avva.livejournal.com]

Это не многочлен.

[yigal_s]

а бесконечные ряды будем считать многочленами?

Если да, то что-то вроде
(1+cos x)+(1+sin(pi*x) ) * exp x

могло бы прокатить.

[avva.livejournal.com]

Не будем.

[ygam.livejournal.com]

тьфу, от нескольких переменных, а не от одной.

[avva.livejournal.com]

Да, разрешается от нескольких.

[posic.livejournal.com]

Хорошая задачка. (Решения не знаю.)

[xgrbml.livejournal.com]

Правда что ли? Со школы знал.

[yuly.livejournal.com]

Не существует
Д-во:
Пусть P такой многочлен степени m, P = X^m + X^m-1 + ... , где X^k - однородная форма степени k
1. Существует D > 0 такое, что P(X) > 2 если X находится вне шара радиуса D
2. Пусть Z1, Z2, ... Zk .. последовательность точек такая что P(Zk) < 1/k.
Taкaя последовательность существует и все точки внутри компактного шара радиуса D,
выберем сходящуюся подпоследовательность, по непрерывности многочлена P значение в предельной точке будет равно 0.

[avva.livejournal.com]

Ваш пункт 1. вызывает подозрения. Почему существует?

[(Anonymous)]

1 - 2 xy + 4 x²y²

[xgrbml.livejournal.com]

Нет. Минимум=3/4.

[xgrbml.livejournal.com]

x^2+(xy-1)^2.

Знал я это, как написал posic'у, со школы. Но решил тогда сам, так что вроде все честно.

[grur.livejournal.com]

(x^2+1)*y^2 + 4xy + 4

[p-k-zombie.livejournal.com]

(xy-1)^2+x^2

[eismann.livejournal.com]

Допустим, что есть такой полином f(x), от n переменных, n минимально.

Возьмём последовательность {yn} = {1/i} в R+ и посмотрим на её прообраз, последовательность точек {xn} в R^n. Она не сходится в R^n, иначе бы точка её сходимости по непрерывности f(x) отображалась вовнутрь R+ (а не в ноль).
Для n-мерного шара любого радиуса М есть бесконечно много элементов {xn} за пределами этого шара, иначе, опять же, мы имели бы сходимость внутри компактного множества точек шара. Даже если мы посмотрим на проекции {xn} на каждую из осей координат, то получившиеся последовательности должны расходиться: если какая-нибудь координата xi сходится к m, формируем f(x) с константой m вместо xi, а это противоречит минимальности n.

Значит, для любого радиуса M можно найти достаточно большой индекс i, чтобы М^2>|x(i)|>M, M^2>|x(i-1)|>M, |x(i) - x(i-1)| > М. Все частные производные полинома - тоже полиномы. На закрытом множестве, ограниченном сферами с радиусами М и М^2 (назовём его S) все частные производные достигают минимумов. Отсюда (grad f).(u) (где u - единичный вектор) ограничен на S снизу неким числом s.

Теперь, по теореме о среднем значении, y(i)-y(i-1) = (grad f(ksi)).(x(i)-x(i-1)) для некого ksi на S. Левая часть меньше единицы для любых i, поскольку {yn} = {1/n}. Правая - больше s*M. Выберем i такое большое, что M>1/s, получаем противоречие, то есть не бывает таких полиномов от n переменных.

Что-то вроде этого, можно проще, наверное, но не вижу.

[avva.livejournal.com]

Даже если мы посмотрим на проекции {xn} на каждую из осей координат, то получившиеся последовательности должны расходиться: если какая-нибудь координата xi сходится к m, формируем f(x) с константой m вместо xi, а это противоречит минимальности n.

Обозначим через f(x_i=a) многочлен f с подстановкой константы a вместо x_i. Пусть известно, что для значений x_i=a_1, a_2, ..., сходящихся к m, f(x_i=a_j) включает в свой образ 1/j - реализующийся, вообще говоря, при разных значениях остальных переменных x. Неясно, как отсюда следует, что f(x_i=m) включает в свой образ какой-либо из 1/j, не говоря уж о всех 1/j, что необходимо для вашего утверждения.

[etre-moral.livejournal.com]

да
n=2 (например)
x^2+(xy-1)^2 (например)

[ro-che.info (from livejournal.com)]

x^2 + (xy-1)^2

[eisenberg.livejournal.com]

Я когда-то давно решил. Но мне это давали в утвердительной форме (построить такой..., что...), а так-то, конечно, легче.
Ну, берём многочлен, у которого нули вдоль гиперболы. Так. А теперь отделяем от нуля, вот здесь, аккуратно...
(x^2y^2-1)^2+y^2

[(Anonymous)]

Пусть такой многочлен существует.
Легко понять, что степени всех переменных должны быть четными.
Тогда получаем непрерывное отображение, которое переводит полуинтервал (точки с неотрицательными координатами)в интервал. Противоречие.

[avva.livejournal.com]

Откуда это легко понять?

[buddha239.livejournal.com]

$(XY-1)^2+X^2$?:)

[a-bugaev.livejournal.com]

x² + (1-xy)²

Я давно знаю эту задачу, но в свое время придумал решение самостоятельно.

[timur0.livejournal.com]

не может.
1) в случае n=1 это очевидно, теперь докажем для произвольного n.
2) предположим, что это не так, т.е. значения многочлена F(x¹...xⁿ)>0 и существует последовательность точек в n-мерном пространстве A^k, lim F(A^k) = 0
3) спроецируем A^k на единичную гиперсферу, получили на ней бесконечное множество точек.
4) гиперсфера компактна, т.е. это множество имеет предельную точку
5) проведем прямую через эту точку и начало координат и рассмотрим значения F(X) на этой прямой
6) с одной стороны по построению этой прямой lim F(X) = 0 при движении X к бесконечности
7) с другой стороны, прямая это линейные зависимости, т.е. значения функции на этой прямой будут выражаться многочленом от одной переменной, а его предел на бесконечности не может быть равен 0. получили противоречие

[(Anonymous)]

Пункт 4 легко опровергается контрпримерами.

[ijon-ru.livejournal.com]

Путем долгих размышлений придумал такой многочлен:
P(x, y) = x^4*y^4 - 2*x^2*y^2 + 1 + x^2

Идея в том, что при y = 1/x, P(x, y) = x^2, и его значение может неограниченно приближаться к нулю. В то же время при x = 0: P(x, y) = 1
Минимальное значение x^4*y^4 - 2*x^2*y^2 имеет при x = +-1, y = +-1, оно равно -1. P(x, y) = 1

[yburda.livejournal.com]

x^2+(xy-1)^2

[gruin.livejournal.com]

Кажется, подходит даже что-то простое вроде f(x,y)=(xy-1)^2+x^2.
Понятно, что значения этого многочлена неотрицательны. Сколь угодно маленького значения мы можем добиться, если возьмём xy=1, x=eps. Нуля получить нельзя, так как система xy=1, x=0 неразрешима. Так как при x --> infty, f(x,y) --> infty, то и сколь угодно больших значений можем добиться. Из связности R^2 и непрерывности f следует, что область значений все положительные числа.

психологическое

[janatem.livejournal.com]

Вначале я попытался изобразить доказательство несуществования (что-то про непрерывность и замкнутость/открытость прообраза); за пять минут ничего не срослось. Но потом постепенно пришло воспоминание из детства: было что-то похожее, а, может быть, в точности эта задача на подготовке к олимпиаде. Помню, что решение показалось мне поразительным и простым, и это был пример существования... Короче, я подумал, и мне стало приятно, тогда я еще раз подумал. ;)

Обладая знанием о существовании, легко построить сам пример: x^2 + (xy + 1)^2.

Re: психологическое

[avva.livejournal.com]

Да, даже удивительно, насколько психологически помогает тут знание о существовании.