![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaУ Ричарда Липтона в блоге наткнулся на простое и красивое доказательство того, что есть бесконечно много простых чисел; правда, оно опирается на недоказанную пока гипотезу:
Теорема. Если гипотеза Гольдбаха верна, то есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Но тогда 2P+2 не может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Мы пришли к противоречию с гипотезой Гольдбаха.
Мне оно понравилось, но все-таки немного мешает то, что надо предполагать гипотезу Гольдбаха верной. После определенных усилий мне удалось снять это требование. Моя версия доказательства:
Теорема: Есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: Предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Согласно теореме Грина-Тао, существует арифметическая прогрессия, состоящая из P+1 простых чисел. Применяя принцип Дирихле, мы видим, что эти P+1 простых чисел невозможно уместить среди P чисел от 1 до P, поэтому наибольшее из них будет больше P, и это противоречит нашему предположению.
Липтон называет такие доказательства первоапрельскими; в его записи и комментариях есть еще несколько примеров, среди них есть поинтереснее того, что я процитировал. Особенно мне понравилось доказательство того, что в любой достаточно большой компании людей найдутся либо двое дружащих между собой, либо двое недружащих между собой.
Хоть это и не совсем тот жанр, мне кажется, стоит также упомянуть топологическое доказательство бесконечного количества простых чисел Фюрстенберга.
Если у вас есть идеи других первоапрельских доказательств, предлагайте в комментариях!
Теорема. Если гипотеза Гольдбаха верна, то есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Но тогда 2P+2 не может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. Мы пришли к противоречию с гипотезой Гольдбаха.
Мне оно понравилось, но все-таки немного мешает то, что надо предполагать гипотезу Гольдбаха верной. После определенных усилий мне удалось снять это требование. Моя версия доказательства:
Теорема: Есть бесконечно много простых чисел.
Доказательство: Предположим, что число простых чисел конечно, и P - самое большое среди них. Согласно теореме Грина-Тао, существует арифметическая прогрессия, состоящая из P+1 простых чисел. Применяя принцип Дирихле, мы видим, что эти P+1 простых чисел невозможно уместить среди P чисел от 1 до P, поэтому наибольшее из них будет больше P, и это противоречит нашему предположению.
Липтон называет такие доказательства первоапрельскими; в его записи и комментариях есть еще несколько примеров, среди них есть поинтереснее того, что я процитировал. Особенно мне понравилось доказательство того, что в любой достаточно большой компании людей найдутся либо двое дружащих между собой, либо двое недружащих между собой.
Хоть это и не совсем тот жанр, мне кажется, стоит также упомянуть топологическое доказательство бесконечного количества простых чисел Фюрстенберга.
Если у вас есть идеи других первоапрельских доказательств, предлагайте в комментариях!
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-04-02 10:51 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-02 10:56 pm (UTC)Хотя я лично в прошлом году пролистал книгу, целиком посвященную доказательствам теоремы Пифагора, и наверное прочитал их достаточно до конца жизни.
Но пусть это вас не остановит :)
no subject
Date: 2010-04-02 11:10 pm (UTC)Из признака равенства треугольников следует, что для определения площади прямоугольного треугольника S достаточно угла и длины гипотенузы S=f(α,c).Откуда из пи теоремы следует (анализа размерности), что S=с^2*F(α), проводя высоту из прямого угла, разбиваем прямоугольный треугольник на два подобных (теперь катеты стали гипотенузами). Площадь треугольника выражается через суммы двух S=S1+S2. с^2*F(α)= a^2*F(α)+ b^2*F(α)
Откуда с^2= a^2+ b^2
Книжка Баренблатта (он кажется взял пример у Мигдала)
no subject
Date: 2010-04-02 10:52 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-02 10:55 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 12:41 am (UTC)Proof: Suppose there are finitely many of them. Consider their product.
no subject
Date: 2010-04-03 12:43 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 01:50 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 05:19 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 12:46 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 02:18 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 02:31 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 02:41 am (UTC)Текст о барометре широко известен.
no subject
Date: 2010-04-03 02:47 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 12:58 am (UTC)Возьмем произведение всех простых чисел + 1, получим P-плюс первое простое число.
no subject
Date: 2010-04-03 02:20 am (UTC)Контрпример сами постройте.
no subject
Date: 2010-04-03 06:36 am (UTC)Такое доказательство таки есть, оно вполне очевидно и работает.
Остаток от деления на любое из [нашего набора всех] простых чисел будет единица.
Что именно вам не нравится?
no subject
Date: 2010-04-03 07:37 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 11:06 am (UTC)Вы правы, оно не делится на любое из n первых простых, но это еще недостаточно, вообще говоря, чтобы быть простым.
Контрпример найти легко. Рекомендую сделать это, чтобы развеять давнее заблуждение.
Вам понятно теперь?
В классическом доказательстве НЕ говорится, что это число простое.
no subject
Date: 2010-04-03 05:31 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-04 05:26 pm (UTC)Почему вы его еще не привели?
BTW, если оно не простое, значит оно делится на одно из простых чисел.
Из того что оно не делится ни на одно из нашего набора (напомню, в наборе - ВСЕ простые числа), следут не то что оно простое, а что ЛИБО оно простое, ЛИБО есть еще одно простое число кроме наших, на которое это самое число делится.
И в том и в другом случае у нас есть ЕЩЕ ОДНО простое число, которое не входит в набор "всех простых чисел", что и требовалось доказать.
Я удивлен что такому умному анониму, который уже который раз грозится привести контрпример, приходится разжевывать такие элементарные вещи.
no subject
Date: 2010-04-04 06:32 pm (UTC)"который уже который раз грозится" - это уже на вашей совести или умении читать пусть останется, как и прочие переходы на личности.
Доказательство я знаю, спасибо. Я хотел подчеркнуть, что у ознакомившихся с ним часто остается заблуждение, к которому можно построить контрпример. Вам понятно.
no subject
Date: 2010-04-05 05:16 am (UTC)Ну я понимаю, если бы речь шла о семинаре и вы на нем были бы преподавателем.
Или, скажем, вы были бы хотя бы пользователем fregimus или, скажем, Анатолием Вассерманом (хотя он не страдает менторским тоном и свои утверждения обосновывает).
А так, анонимно, ваши посты воспринимаются как изречения того самого стратега, которым каждый мнит себя со стороны.
no subject
Date: 2010-04-05 10:33 am (UTC)Речь шла об очень простом математическом утверждении. Вам оно неинтересно или Вы в него верите, или даже не верите - промолчите. Не стоит для его обсуждения привлекать слова "грозится", "менторский тон", Анатолия Вассермана и прочее, мне так кажется. Речь шла о простой арифметике - перемножить несколько чисел, прибавить один итд. Такие дела.
Не затрудняйтесь с ответом. Всех благ.
no subject
Date: 2010-04-03 02:44 am (UTC)Так что это не честно.
no subject
Date: 2010-04-03 02:53 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 05:26 am (UTC)От противного: пусть их К. Тогда их произведений в количестве, не большем М, не больше, чем некий многочлен от М (К-й степени).
А все натуральные до 2^М так представимы. Противоречие.
Если расписать, то будет выглядеть внушительно, вполне себе первоапрельски :)
no subject
Date: 2010-04-03 06:07 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 06:13 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 07:36 am (UTC)Пришло в голову разве что вот что:
cos2t + sin2t = cos2t - i2sin2t = (cost - i·sint)(cost + i·sint) = (cos(-t) + i·sin(-t))(cost + i·sint) = eit·e-it = eit - it = e0 = 1.
Но подозреваю, порочный круг может обнаружиться и здесь :)
Пятый Постулат
Date: 2010-04-03 12:54 pm (UTC)"Аффтар" там исходил из того, что теорема Пифагора эквивалента Пятому Постулату, и доказывал её как раз через основное тригонометрическое тождество, которое у него обосновывалось при помощи рядов.
Ну а дальше он всего лишь воспользовался "всем известными формулами" a=c*cos t, b=c*sin t. "Порочный круг" был именно в этом -- не было учтено то обстоятельство, что вывод этих формул опирается на принципы подобия треугольников, а там нужна аксиома параллельных.
Трактат сопровождался, как это обычно бывает, цитатами из "великих" :) В частности, цитировался Эйнштейн: "Существует только одна истина, в то время как число заблуждений бесконечно" :) Любят господа ферматисты, трисектристы и прочие "квадратурщеги" немного "поморализировать"! :)
Re: Пятый Постулат
Date: 2010-04-03 06:11 pm (UTC)мыслепатология
Date: 2010-04-03 09:58 pm (UTC)В итоге, говорят, помогает -- это что-то типа тушения лесных пожаров при помощи пускания "встречного огня"! :)
Очень многое зависит от степени "разумности" того или иного "изыскателя". Бывают люди сравнительно "тихие", и в общении с ними достаточно какой-то короткой разъяснительной беседы. Ко мне как-то после лекции заявился "трисектрист" с массой чертежей. Он указал на некие точки и сказал, что если они лежат на окружности, то это решает задачу трисекции угла :) При этом он смог внятно объяснить свои построения, после чего я фактически при нём написал уравнение второго порядка, из которого было ясно, что кривая являет собой гиперболу :) Ну, а тот факт, что при помощи пересечения окружности с гиперболой нужное построение легко осуществляется -- это было так или иначе очевидно. Человек сказал что-то типа "очень жаль", и на этом, скорее всего, успокоился.
А бывают случаи и похуже. У нас в области есть "ферматист", который через приёмную Президента (!) подавал на рассмотрение свои "изыскания". Они попадали сначала в областную администрацию, потом нашему ректору, а оттуда на нашу кафедру (поскольку там "алгебра"). Пришлось давать "официальное" заключение! :)
При первой попытке оказалось, что он от уравнений типа x^3=ab переходил к a=y^3, b=z^3. Интересно, что о взаимной простоте он был осведомлён, но заявлял, что это "и без того верно"! :) Пришлось привести пример числа 216.
А через пару лет он снова направил такой же запрос. "Доказательство" осталось почти таким же. Правда, он убрал оттуда почти неизбежно присутствующую в таких случаях "поучительную" или "философскую" часть -- в ней даже "Конёк-Горбунок" у него упоминался! :) Однако, наряду с этим, он разложил степень целого числа теперь уже в произведение каких-то вещественных чисел, и смело перешёл к точно таким же равенствам -- числа оказались кубами целых! Не удивительно, что тут же возникло "противоречие" :)
Я счёл, что это уже полная "клиника", и если я читаю подобные "опусы", то только ради изучения "мыслепатологии" :) То есть должно быть что-то "свеженькое" и "новенькое". Так что пришлось передать своё мнение о том, что "товарисч" слегка нездоров, с просьбой не присылать более к нам его "изысканий".
Re: мыслепатология
Date: 2010-04-04 07:58 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 09:12 am (UTC)"Машина Тьюринга номер N останавливается при пустом начальном состоянии ленты" -- утверждение формальной арифметики. Если для всех таких утверждений существует либо доказательство, либо опровержение, то проблема останова разрешима. QED.
no subject
Date: 2010-04-03 09:17 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 09:22 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 10:43 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-03 07:08 pm (UTC)Theorem: most prime numbers are even.
Proof: pick up any math text and look for a prime number. The first one you find will probably be even.
Theorem: all numbers are boring.
Proof (by contradiction): suppose x is the first non-boring number. Who cares?
Два апрельских приёма вычисления.
Допустим, мы хотим вычислить ln числа (не слишком большого или маленького), а калькулятор этого не позволяет, но позволяет вычислять sqrt. Тогда логарифм можно вычислить приближённо, нажав 10 раз на sqrt, потом вычтя единицу и умножив результат на 1024.
Допустим, мы хотим оценить число секунд в году, но не хотим вычислять выражение 60 * 60 * 24 * 365. Тогда вспомним, что за год Земля проходит длину своей орбиты, т. е. π * диаметр орбиты. Известно, что диаметр есть 300 млн км, а скорость движения Земли по орбите – 30 км/сек. Значит, время оборота по орбите равно (π * 300 млн / 30) сек. ≈ 31.5 млн сек.
Два апрельских упражнения.
Доказать, что эти четыре выражения тождественно равны.
Доказать, что эти четыре выражения тождественно равны.
no subject
Date: 2010-04-06 06:15 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-06 07:12 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-07 11:12 am (UTC)no subject
Date: 2010-04-07 01:49 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-07 02:26 pm (UTC)no subject
Date: 2010-04-04 06:29 pm (UTC)