Как бы так доказать, что сумма двух имеющих мало различных корней полиномов над комплексным полем имеет всегда много корней? Точнее, что максимальная из степеней a(t), b(t), a(t)+b(t) строго меньше числа различных корней a(t)b(t)c(t).
Все равно неясно: пусть a(t)=t^100, b(t)=t-1, они взаимно простые, максимальная степень равна 100, корни есть только 0 и 1. Кроме того, в вашем уточнении с одной стороны участвует c, с другой нет.
1. Да, извиняюсь, имелось в виду, c(t)=a(t)+b(t). 2. В вашей первой реплике по-хорошему должно быть c(t)=2t^2, что я проигнорировал, потому что на число различных корней это не влияет, а полиномы всё равно не взаимно просты, что важнее. 3. a(t)=t^100, b(t)=t-1, c(t)=t^100+t-1. Утверждаю, что у c(t), по меньшей мере, 99 различных корней, не равных 0 и 1.
полином степени n над полем комплексных чисел имеет ровно n корней с учетом кратности. если среди них мало различных, то это значит, что этот полином имеет общий делитель со своей производной (все кратные корни с кратностями на 1 меньше, чем у исходного полинома). не совсем понял, какое именно неравенство надо доказать, но из этих соображений должно получиться.
Полином степени n имеет общий делитель со своей производной, даже если у него n-1 различных корней. Приведённый вами простейший факт мне был, разумеется, известен.
Надо доказать, что число различных корней полинома a(t)b(t)c(t), если a(t), b(t) и c(t)=a(t)+b(t) взаимно просты, больше максимальной из степеней a(t), b(t).
Пожалуйста, расшифруйте ваше последнее предложение, а то оно выглядит довольно странно :-)
На самом деле рассуждения с НОДом многочлена и производной действительно помогают. Без ограничения общности, степени a и с равны между собой и не меньше степени b. Пусть НОД(a, a') = p, НОД(b, b') = q. Количество различных корней у, например a, это степень многочлена a/p. Обозначим ее через n, а для b, соответственно, m. Нам надо оценить степень r = (a+b)/НОД(a'+b', a+b). Рассмотрим (a'/p)(a+b) - (a/p)(a'+b'). Это число делитcя на r. Оно равно a'b/p - ab'/p = q((a'/p)(b/q) - (a/p)(b'/q)). q и r взаимно просты из взаимно-простоты a и b. Поэтому deg q <= n+m-1 Ну, а теперь количество различных корней это хотя бы n + m + deg c - (n + m - 1), что и требовалось.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2010-06-08 10:52 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-08 11:08 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-08 12:19 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-08 12:26 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-08 12:32 pm (UTC)2. В вашей первой реплике по-хорошему должно быть c(t)=2t^2, что я проигнорировал, потому что на число различных корней это не влияет, а полиномы всё равно не взаимно просты, что важнее.
3. a(t)=t^100, b(t)=t-1, c(t)=t^100+t-1. Утверждаю, что у c(t), по меньшей мере, 99 различных корней, не равных 0 и 1.
Жду фидбек, чего я ещё успел налажать :-)
no subject
Date: 2010-06-08 03:54 pm (UTC)не совсем понял, какое именно неравенство надо доказать, но из этих соображений должно получиться.
no subject
Date: 2010-06-08 07:16 pm (UTC)Надо доказать, что число различных корней полинома a(t)b(t)c(t), если a(t), b(t) и c(t)=a(t)+b(t) взаимно просты, больше максимальной из степеней a(t), b(t).
Пожалуйста, расшифруйте ваше последнее предложение, а то оно выглядит довольно странно :-)
no subject
Date: 2010-06-09 10:33 am (UTC)no subject
Date: 2010-06-09 03:57 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-08 08:44 pm (UTC)Без ограничения общности, степени a и с равны между собой и не меньше степени b.
Пусть НОД(a, a') = p, НОД(b, b') = q.
Количество различных корней у, например a, это степень многочлена a/p. Обозначим ее через n, а для b, соответственно, m.
Нам надо оценить степень r = (a+b)/НОД(a'+b', a+b).
Рассмотрим (a'/p)(a+b) - (a/p)(a'+b'). Это число делитcя на r. Оно равно
a'b/p - ab'/p = q((a'/p)(b/q) - (a/p)(b'/q)).
q и r взаимно просты из взаимно-простоты a и b. Поэтому deg q <= n+m-1
Ну, а теперь количество различных корней это хотя бы
n + m + deg c - (n + m - 1), что и требовалось.
no subject
Date: 2010-06-09 03:59 pm (UTC)