Писал как-то давно в личку безуспешно - попробую здесь.
Мучает меня африфметическая задачка, думаю, школьного уровня, формального доказательства которой никак не могу найти.
Берем калькулятор или дополнительные цифровые кнопки на клаве - квадрат 3х3. Выбираем любой прямоугольник:1-2-8-7, 5-8-9-6 и и.д. Перебираем вершины, начиная с любойб в любом направлении - либо по часовой, либо против. Полученное четырехзначное число целочисленно делится на 11!
Интересует: 1. Формальное доказательство 2. Как можно это явление расширить для целочисленных матриц n x n?
Буду признателен, если поможете найти ответ. Заранее спасибо!
пусть у вас есть 4-значное число abcd. Его значение равно ab*100+cd. Остаток от деления на 11 числа ab*100 равен остатку числа ab, потому что ab*100 = ab*99 + ab. Остаток от деления на 11 двузначного числа ab равен разности между цифрами b-a (возможно +11 если вторая цифра меньше первой). Сумма остатков ab и cd будет равна нулю, если сумма этих разностей будет равна нулю (по модулю 11). В прямоугольнике такого вида, как вы описываете, она обязательно равна нулю, потому что значение уменьшается и потом увеличивается на одинаковую величину либо при переходах a->b, c->d либо при переходах b->c, d->a, в зависимости от направления обхода.
Есть также четырехзначные числа с разными цифрами, которые делятся на 11 с суммой остатков ab и cd равной 11, а не 0, но они не получаются в виде вершин таких прямоугольников. Например, 1628.
можно проще совсем такие числа равны 1000a+100(a+xb)+10(a+xb+yc)+a+yc=1111a+110xb+11yc (начинаем с клавиши a, перепрыгиваем на b шагов в направлении x, потом на c в направлении y, потом на -b в x; {x,y}={1,3})
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2010-06-08 12:52 pm (UTC)Мучает меня африфметическая задачка, думаю, школьного уровня, формального доказательства которой никак не могу найти.
Берем калькулятор или дополнительные цифровые кнопки на клаве - квадрат 3х3. Выбираем любой прямоугольник:1-2-8-7, 5-8-9-6 и и.д. Перебираем вершины, начиная с любойб в любом направлении - либо по часовой, либо против. Полученное четырехзначное число целочисленно делится на 11!
Интересует:
1. Формальное доказательство
2. Как можно это явление расширить для целочисленных матриц n x n?
Буду признателен, если поможете найти ответ.
Заранее спасибо!
no subject
Date: 2010-06-08 01:10 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-08 01:39 pm (UTC)ab*100+cd. Остаток от деления на 11 числа ab*100 равен остатку числа ab, потому что ab*100 = ab*99 + ab. Остаток от деления на 11 двузначного числа ab равен разности между цифрами b-a (возможно +11 если вторая цифра меньше первой). Сумма остатков ab и cd будет равна нулю, если сумма этих разностей будет равна нулю (по модулю 11). В прямоугольнике такого вида, как вы описываете, она обязательно равна нулю, потому что значение уменьшается и потом увеличивается на одинаковую величину либо при переходах a->b, c->d либо при переходах b->c, d->a, в зависимости от направления обхода.
Есть также четырехзначные числа с разными цифрами, которые делятся на 11 с суммой остатков ab и cd равной 11, а не 0, но они не получаются в виде вершин таких прямоугольников. Например, 1628.
no subject
Date: 2010-06-08 04:42 pm (UTC)такие числа равны
1000a+100(a+xb)+10(a+xb+yc)+a+yc=1111a+110xb+11yc
(начинаем с клавиши a, перепрыгиваем на b шагов в направлении x, потом на c в направлении y, потом на -b в x; {x,y}={1,3})
no subject
Date: 2010-06-08 06:53 pm (UTC)