во, вопросы которые гложут меня долгое время: 1) известно, что человек, все время идя на северо-восток, придет на северный полюс. вопрос: какое расстояние пройдет человек, двигаясь с экватора. поверхность земли при этом можно считать сферой. я считаю, что окружность земли / 4 * sqrt(2), но доказать не могу. 2) x5+x4+x3+x2+x+1=y2. решить в целых числах
1) эта кривая называется локсодромой или линией румбов, ее длина от полюса до полюса равна длине меридиана, деленная на косинус угла, под которым локсодрома пересекает меридианы. то есть если вы считаете от экватора, то формула правильная; вывод можно найти, например, здесь http://www.cwru.edu/artsci/math/alexander/mathmag349-356.pdf (он простой, считается интеграл в лоб и всё).
2) Разложим на множители: (x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)=y2 Если x+1 не кратно 3, то все сомножители взаимно просты и должны быть квадратами. Ясно, что x2+x+1 не является полным квадратом при ненулевом x (x мало, x+1 много) Значит, x=3t-1 9t(3t2-3t+1)(9t2-3t+1)=y2 Все сомножители с t взаимно просты, так что они все должны быть квадратами. Но 9t2-3t+1 не является полным квадратом при ненулевом t. Отсюда единственное решение x=0, y=+-1
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2010-06-08 09:28 pm (UTC)1) известно, что человек, все время идя на северо-восток, придет на северный полюс. вопрос: какое расстояние пройдет человек, двигаясь с экватора. поверхность земли при этом можно считать сферой. я считаю, что окружность земли / 4 * sqrt(2), но доказать не могу.
2) x5+x4+x3+x2+x+1=y2. решить в целых числах
no subject
Date: 2010-06-08 09:51 pm (UTC)no subject
Date: 2010-06-09 02:16 pm (UTC)(x+1)(x2-x+1)(x2+x+1)=y2
Если x+1 не кратно 3, то все сомножители взаимно просты и должны быть квадратами. Ясно, что x2+x+1 не является полным квадратом при ненулевом x (x мало, x+1 много)
Значит, x=3t-1
9t(3t2-3t+1)(9t2-3t+1)=y2
Все сомножители с t взаимно просты, так что они все должны быть квадратами. Но 9t2-3t+1 не является полным квадратом при ненулевом t.
Отсюда единственное решение x=0, y=+-1