категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[ayametoo.livejournal.com]

получается, надо как-то отойти от исторической структуры математического образования (я о том, что школьные знания заканчиваются 19 веком)

но в принципе, мне кажется, что достаточно поговорить какое-то время о категориях с человеком, внимательно слушающим, хоть и неспециалистом, используя примеры-аналогии

[vanja-y.livejournal.com]

Математические понятия нельзя объяснять аналогиями. Если в математике возникает большой запас аналогичиных понятия/объектов, то тут же возникает необходимость создания новой абстракции, которая бы включала в себя суть этой аналогии.

[ayametoo.livejournal.com]

ох

математические понятия не оторваны от реальности, и в какой-то мере какие-то категории можно объяснить несведущему, пользуясь повседневными знаниями. Не так, конечно, объяснить, что он сразу получит способность решать задачи, но хоть как-то, и не выводя, а пользуясь готовыми положениями

[vanja-y.livejournal.com]

Нет. Лет 20-ть назад любили говорить, что категории это абстракция второго рода. Дело в том, что они возникли для описания общих свойств присущих всей совокупности множеств/векторных пространств/алгебр/колец/полей/решеток/многообразий/векторных расслоений/алгебраических многообразий/топологических пространств/симпликциальных множеств/пространств с мерой/... и отображений между ними, сохраняющих некоторую структуру. Если Вы не знаете, хотя бы пару-тройку понятий из перечисленных выше, то объяснять, что такое категория занятие не только бессмысленное, но и вредное.

[ayametoo.livejournal.com]

по-моему, поле, топологическое пространство и пространство с мерой задать не сложно

[xaxam.livejournal.com]

Да вроде бы только так и можно объяснять понятия ;-)

Например, разобравшись с основными понятиями в теории групп и разобрав конструкцию какого-нибудь проективного предела, можно перейти к кольцам и произнести фразу "точно так же можно строить проективный предел для колец". Любой слушатель поймёт, что имеется в виду, а если он нетвёрдо разобрался с групповым пределом, то построить по аналогии кольцевой будет поучительным упражнением, подобные которому в любом курсе встречаются десятками и рассматриваются как наиболее эффективные.

Другое дело, что формальная математика, действительно, не допускает фразы "точно таким же образом", и чтобы рассматривать единообразно разные "теории", надо подняться на следующий уровень и вводить категории.

ТК таким образом скорее не часть алгебры, а часть логики (на мой неизысканный вкус). Этим можно объяснить то, что формальное незнание ТК не является препятствием для работы в очень разных областях. Мы все знаем, что из А и импликации "А влечет Б" следует Б, и отлично пользуемся этим правилом (или, скажем, правилом исключенного третьего), начиная с младшей школы, но учить формальную математическую логику начинаем только в университете (при этом редко доводя этот курс до теорем Гёделя, которые есть едва ли первый триумф математической логики, доступный студенту!).

[vanja-y.livejournal.com]

Полностью согласен :)

Но объяснять, что такое категория способному студенту-математику меньше чем за год не готов.

Ниже есть комментарий анонима в треде передшествующем комментарию леблона. Мне кажется, что он, в какой-то мере, поймал суть теории категории.

[dmitri-pavlov.livejournal.com]

Школьные знания по математике заканчиваются не 19, а 16, в лучшем случае 17 веком (если школа хорошая).

[ayametoo.livejournal.com]

а, ну, да, точно, это 17 век