категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[shmel39.livejournal.com]

Мне кажется, что это было бы сложно. Хотя бы потому что теория категорий (да и значительная часть математики 20го века) уже несколько отошла от бытовой иллюстративной физики - раньше огромная часть матаппарата была сформирована как обобщение каких-либо идей, наблюдений реальности. Поэтому и объяснялось из принципа: "ну смотри как оно бывает в эксперименте, вот мы придумали примерно такое же только применимое еще здесь, там и еще хрен знает где".

Когда же теория мотивируется собственными внутриматематическими проблемами (или современной теорфизикой), то объяснить её без этого бэкграунда почти невозможно. Короче говоря, раньше был хороший бэкграунд: экспериментальная физика.

[buddha239.livejournal.com]

Уже квадратные уравнения не силнь наглядны, а уж теория Галуа...:)

[shmel39.livejournal.com]

Ну-ну, не надо. Квадратные уравнения можно хотя бы нарисовать параболами и продемонстрировать равнопеременным движением материальной точки. Не так уж и ненаглядно.

А теория Галуа - да, не столь наглядна. Хотя и её применения можно найти (построения циркулем и линейкой, скажем). К тому же группы долгое время даже математиками-то не воспринимались. По крайней мере, лет 20 после его смерти никому дела не было до этих групп.

[french-man.livejournal.com]

Теорию Галуа можно объяснить на пальцах мотивированному слушателю (мне удавалось). Категории, боюсь, нельзя.

[avva.livejournal.com]

А как ты объясняешь теорию Галуа?

[french-man.livejournal.com]

Это сильно зависит от бэкграунда. Шестикласснику трудно было бы (ну, если не вундеркинд-пятидесятисемит). Ну, вот, предположим, что слушатель знает, что такое многочлены и комплексные числа, но не знает определения группы. Я бы ограничился многочленами с рациональными коэффициентами. Вначале показал бы, что многочлены бывают приводимыми и неприводимыми. Затем показал бы бы, что многочлен степени n не может имет более чем n корней. Вввел бы понятие кратного корня, сформулировал бы «основную теорему алгебры».

Потом бы взял многочлен без кратных корней. Его корни можно перенумеровать. А потом поменять нумерацию, т.е. осуществить перестановку корней. Сказал бы, что перестановки бывают «допустимыми» и «недопустимыми». Допустимая перестановка должна сохранять все алгебраические соотношения между корнями. Привел бы нетривиальные примеры (ну, пришлось бы поработать). Группа Галуа - попросту множество допустимых перестановок. И т.д.