категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[os80.livejournal.com]

Скажите, а когда Арнольд говорил, что никаких других групп, кроме групп преобразований, нет и что "аксиомы группы" - это потому что "алгебраистам же самое интересное надо выкинуть" - врал?

[posic.livejournal.com]

Это вопрос не правды или вранья, а взгляда и вкуса. Разные математики по-разному смотрят на свой предмет. Арнольду нравится так, алгебраистам иначе. Мне точка зрения Арнольда сильно не по душе, да (я алгебраист).

Математическая-в-узком-смысле сторона вопроса сводится к тому, что всякую группу можно представить как группу преобразований, но многими разными способами. Поэтому я предпочитаю считать, что группа -- это одно, категория ее представлений преобразованиями чего-то там -- это другое, а никакого выделенного представления, с которым имело бы смысл отождествлять группу, нет.

[avva.livejournal.com]

Я, кстати, именно думая о позиции "группы суть группы преобразований", вставил слова "более или менее" в последнем предложении своего комментария. Но вообще-то об этом высказывании Арнольда я думаю, что оно по сути не сильно отличается от многих других "провокативных" высказываний Арнольда последних лет, напр. о математическом образовании. А именно: если воспринимать его, заранее уважая Арнольда и симпатизируя его взглядам на строение математики, то в этом, вообще говоря, чрезвычайно раздутом, помпезном и нелепом высказывании, можно усмотреть то зерно интересного смысла, которое в него изначально было вложено. Только в таком духе имеет смысл его воспринимать, а буквально и всерьез к нему относиться глупо. То же я мог бы сказать о множестве других фраз Арнольда, к-е читал в разных интервью и популярных статьях за последние годы.

(P.S. Конечно, я первый предложу вам при оценке этого моего мнение держать в уме, кто был Арнольд, а кто я)

[os80.livejournal.com]

Кто Арнольд, а кто Вы, сами понимаете, не так интересно. Интересен факт, что (по крайней мере) Арнольду аксиомы группы не нужны, потому что они выводятся (по Арнольду) из того факта, что группа есть всегда группа преобразований. И в этом смысле аксиомы группы опять непонятно, чем аксиомы группы отличаются от аксиом теории множеств (без которых, кстати, насколько я понимаю, какие-то парадоксы возникают).

[avva.livejournal.com]

Как вы от Арнольда вернулись к аксиомам теории множеств, от меня ускользнуло. Группы "по Арнольду" и группы "абстрактные" используют один и тот же вид "аксиом", просто "по Арнольду" их меньше, т.к. он бесплатно получает ассоциативность и единицу (зато замкнутость под композицией ему надо постулировать). И то и другое - вид определения.

Группы обычно возникают в реальной математической практике как группы трансформаций. Но тем не менее, надо также понимать, например, целые числа как группу или работать с мультипликативной группой поля. В обоих случаях эти группы можно представить как группы трансформаций, но я не вижу, почему это представление более естественно и проще, чем немедленно-алгебраическое; по-моему, оно менее естественно и сложнее.