категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[shmel39.livejournal.com]

Еще раз повторяю: неспециалисты не понимают насколько сложна как теория (в смысле матлогики) евлидова геометрия, зато прекрасно себе это представляют в уме. Поэтому любой шаг в сторону будет просто сбивать интуицию.

Как было отмечено выше есть два типа аксиоматических систем в математике: для задания абстрактных (обычно алгебраических) конструкций (группы, векторные пространства, кольца, поля, модули и пр.) и для матлогических доказательств свойств самих теорий (теория множеств, евлидова геометрия). Матлогика стоит особняком в математике, отсюда это разделение. Т.е. различны сами ЦЕЛИ аксиоматик: в первом случае - для работы с объектами, которые им удовлетворяют, во втором - для исследования самой аксиоматики (а не противоречива ли часом теория множеств? а полна ли как теория евклидова геометрия? и многие другие вопросы).

Аксиоматики же абстрактных конструкций по сути являются определениями. Нам, с одной стороны, надо держать в голове мотивирующие примеры (чтобы замечать свойства, общие для всех примеров, которые МОГУТ быть верны для всех объектов), с другой стороны, уметь от них _абстрагироваться_ и работать с голыми аксиомами (чтобы интуиция не мешала сомневаться, однако же, в тех свойствах, которыми обладают все известные примеры, однако неясно следуют ли они из самого определения, то бишь аксиоматики).

Весь этот противоречивый процесс сам по себе ломает мозг (я считаю, это основная причина сноса крыши на младших курсах матфака). Как показывает опыт, обыватели этим навыком не владеют.

Как опять же было сказано выше, теория категорий в качестве мотивирующих примеров, которые она обобщает, имеет математические абстракции, как таковые.

"A mathematician is a person who can find analogies between theorems; a better mathematician is one who can see analogies between proofs and the best mathematician can notice analogies between theories. One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies."
Stefan Banach

По сути категории - это аналогии между теориями. Я просто не представляю, как вы хотите объяснить это неспециалистам на базе школьной геометрии.

[psilogic.livejournal.com]

Я, собственно, не хотел объяснять, это Авва хотел и сказал, что может помочь понимание аксиоматики. А я заметил, что для этого никаких особых умений не требуется. Школьная геометрия включает в себя оба упомянутых вами типа аксиоматик - там и определения, выстроенные одно на другом, там и теоремы, выводимые одна из другой. Осталось только добавить пару примеров, демонстрирующих строгость "взрослой" математики в сравнении со школьной, и можно сказать, что основы объяснили.

Правда объяснять математические теории людям, которые вообще не мыслят в рассудочном стиле, мне кажется, зряшней тратой жемчуга.

[shmel39.livejournal.com]

Школьная геометрия хоть и может быть формализована, однако аксиоматика Гильберта в школе просто не нужна, там нет матлогики попросту.

Также в школе почти не доказывают теоремы на базе этой аксиоматики, скорее развивается интуиция геометрических построений да матаппарат количественных вычислений (главным образом, тригонометрия и координатная геометрия).

Попробуйте, например, объяснить человеку тот факт, что утверждение "прямая разбивает плоскость на две полуплоскости таким образом, что нельзя соединить никакие две точки по разные стороны этой прямой непрерывной кривой" надо строго доказать. Из аксиом. Слишком многие вещи признаются в школе очевидными. Как раз таки качественные вещи. Школьная геометрия ВСЯ строится на примерах. Причем одних и тех же. Там отрабатывается только одна сторона аксиоматического подхода (что я описал в прошлом сообщении) - обобщение. Вторая половина - абстракция от примеров - совершенно забыта.

Собственно, я даже не понимаю почему объясняю это именно вам (http://psilogic.livejournal.com/160026.html).

[psilogic.livejournal.com]

Ну я просто оптимистично смотрю на такие вещи: хотя и понимаю возможные трудности, считаю, что надо думать, как их преодолевать. А проект "логика для чайников" я забросил не от отчаяния, а по причине нехватки времени :(