категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[(Anonymous)]

Ага, только вот хотел рассказать, как построить категорию из карты метро. Но потом задумался — непонятно, что с этим дальше делать. Как на этом примере ввести функторы, естественные преобразования и прочие кокосыкоконусы? Я, правда, не специалист, каких-то очевидных вещей могу не понимать. Это можно сделать? Можете показать на пальцах?

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

На пальцах -- частичные (пред)порядки являются простым примером категорий, там всё довольно просто (функторы -- монотонные функции, точные верхние и нижние грани в качестве произведений и ко-произведений, и т.д.)

Это такая естественная начальная точка. Ну а если и остальное удалось бы сделать на пальцах, то как раз получилось бы искомое введение для нематематиков :-)

[(Anonymous)]

Э, так надо же еще частичные порядки объяснять. А в свободной категории на произвольном графе ничего ведь такого нет?

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Если взять обычный ориентированный граф и сделать его транзитивное рефлексивное замыкание, это и есть частичный предпорядок. Замыкание всё равно надо делать, чтобы получить категорию.

Общий случай отличается тем, что от вершины А к вершине Б может идти более одного ребра (ну или, что вместо множества ребер от А к Б берётся что-нибудь другое, и получается обогащённая катагория). Вопрос в том, можно ли сделать хороший рассказ и в этом случае.

[(Anonymous)]

Ну, на карте мерто предпорядок не очень интересный, от любой станции можно доехать до любой другой. Более интересны пути.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Да, как обычная категория это неинтересно.

Там довольно интересная метрика, вообще говоря, асимметричная (особенно если распространить ёё на окружающий город). Тем самым, на это можно смотреть, как на обогащенную категорию в духе Ловера:

"Metric spaces, generalized logic and closed categories" from http://tac.mta.ca/tac/reprints/index.html

Может быть, это можно рассказать более понятным образом...

[(Anonymous)]

Спасибо, почитаем ;)