категории (математическое)

[avva]

По мотивам нескольких жарких дебатов в ЖЖ третий день размышляю праздно о том, есть ли реальная возможность объяснить, что такое теория категорий и чем она занимается, далеким от математики людям. Уже несколько раз решал, что все-таки может быть можно, а потом передумывал и приходил к выводу, что никак.

Мне кажется, что основная проблема тут в том, что представление широкой публики о математике не включает в себя ни в каком виде понятие аксиоматической структуры. Самое близкое к этому, что есть - это идея неевклидовой геометрии, но она недостаточно развита (в популярном представлении), чтобы можно было взять и сразу так говорить о пространстве как объекте. То есть перед тем как говорить что-то о категориях, совершенно необходимо что-то говорить о полях или о группах, например. Постараться - в этом смысле - перенести слушателя в ранний 20-й век из раннего 19-го. Но уже на этой стадии слишком легко этого слушателя попросту потерять, мне кажется.

Есть ли удачные попытки объяснить категории неспециалистам? Насколько это возможно?

Comments

[leblon.livejournal.com]

По-моему, это не так. Группа - это просто специальный случай малой категории: в ней всего один объект, и все морфизмы обратимы. Т.е. если не заморачиваться разнцией между множествами и классами (т.е. не различать малые категории и категории вообще), то уровень абстракции тот же.

[ygam.livejournal.com]

По-моему, группа вообще - это обобщение таких конкретных математических объектов, как Z/5Z со сложением по модулю 5 и S₅ с композицией перестановок, а категория вообще - это обобщение таких абстрактных математических объектов, как категория групп с их гомоморфизмами и категория колец с их гомоморфизмами.

[leblon.livejournal.com]

Да, почему-то часто в качестве примеров рассматривают такие "немалые" категории. Но чем плоха такая (малая) категория: объекты - точки плоскости, морфизмы - пути между ними. Эта категория - группоид (понятие, обобщающее понятие группы). Уровень абстракции - такой же, как и для группы.

[ygam.livejournal.com]

Вы лучше меня знаете, с какими категориями чаще работают математики: с большими или с малыми?

[leblon.livejournal.com]

Мне как-то не приходило в голову этим поинтересоваться. Наверно потому, что мне кажется, что класс, который не является множеством, - это такая абстракция, которая удобна с технической точки зрения, но на самом деле без нее всегда можно обойтись.

[posic.livejournal.com]

Мнда. Вот к чему приводит пренебрежительное отношение к математической строгости!

Если морфизмы -- это пути, то категория -- не группоид. Буквально ни один непостоянный путь обратного элемента не имеет.

Если морфизмы -- это классы гомотопности путей, то категория -- группоид, но пример с плоскостью трудно признать удачным. Фундаментальный группоид плоскости тривиален, в нем между каждыми двумя объектами (точками) ровно один морфизм. При чем тут пути, в результате, остается непонятным.

[leblon.livejournal.com]

Ой да, не группоид.