avva | задачка (математическое)

Поздравляю, вы - один из 13 директоров большой и очень богатой компании!

Вам приналежит ровно 1/13 компании, как и каждому из остальных директоров. Вместе с 12 вашими коллегами, каждую неделю вы участвуете в заседании совета директоров, во время которого вы рассаживаетесь по кругу. Любой директор имеет право выдвинуть предложение, и как только он его выдвигает, все голосуют следующим образом: предложивший автоматически считается "за", после него голосует следующий за ним по часовой стрелке, потом следующий и так далее до конца круга. Голосование открытое, так что каждый знает голоса предыдущих. Голосовать можно только "за" или "против". Предложение принимается только если оно получает большинство (больше 50%) голосов.

Для того, чтобы уменьшить число махинаций и стабилизировать работу совета, существует также следующее правило. Любое предложение, которое включает в себя перераспределение имущества компании, изменение состава совета директоров, или изменение правил голосования, называется "опасным". В случае, если "опасное" предложение не принимается, его автор и все другие директора, проголосовавшие "за" автоматически теряют свои места в совете директоров и теряют свои доли в компании, которые перераспределяются равным образом среди оставшихся. Это правило делает выдвижение "опасных" предложений таким рискованным делом, что их практически никогда не выдвигают.
Ведь если задуматься, даже если предложение кажется разумным и выгодным многим в совете, ничто не мешает им всем проголосовать против, обогатиться на долю предложившего, а потом подумать о нем снова.

В один прекрасный день, однако, вас осеняет идея. На следующей же встрече совета директоров вы встаете и выдвигаете предложение. Оно принимается единогласно. В результате этого вы становитесь единственным владельцем компании, единственным членом совета директоров, а все остальные, теперь уже бывшие члены, получают в виде компенсации один доллар. На всех.

Ваша задача состоит в том, чтобы во-первых, сформулировать в точности это предложение, и во-вторых, доказать, что оно действительно пройдет единогласно. Вторая часть может быть несколько сложнее первой!

P.S. Я не буду пытаться скрывать правильные решения, потому что это сложно - основная идея "витает в воздухе", но трудность в том, чтобы ее правильно использовать, и в том, чтобы строго доказать. Так что не заглядывайте в комментарии, если хотите решить сами - "витающих в воздухе" приблизительных идей уже сейчас там несколько, а скоро наверняка и точные решения появятся.

P.P.S. Предполагается, что все директора действуют исключительно в интересах максимизации собственного имущества, и всем этот факт известен. Кроме того, любые действия в обход механизма предложений и голосований исключаются (т.е. я не могу пообещать заказать ваше убийство, если вы проголосуете против моего предложения).