задачка (математическое)
Feb. 14th, 2011 10:24 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaПоздравляю, вы - один из 13 директоров большой и очень богатой компании!
Вам приналежит ровно 1/13 компании, как и каждому из остальных директоров. Вместе с 12 вашими коллегами, каждую неделю вы участвуете в заседании совета директоров, во время которого вы рассаживаетесь по кругу. Любой директор имеет право выдвинуть предложение, и как только он его выдвигает, все голосуют следующим образом: предложивший автоматически считается "за", после него голосует следующий за ним по часовой стрелке, потом следующий и так далее до конца круга. Голосование открытое, так что каждый знает голоса предыдущих. Голосовать можно только "за" или "против". Предложение принимается только если оно получает большинство (больше 50%) голосов.
Для того, чтобы уменьшить число махинаций и стабилизировать работу совета, существует также следующее правило. Любое предложение, которое включает в себя перераспределение имущества компании, изменение состава совета директоров, или изменение правил голосования, называется "опасным". В случае, если "опасное" предложение не принимается, его автор и все другие директора, проголосовавшие "за" автоматически теряют свои места в совете директоров и теряют свои доли в компании, которые перераспределяются равным образом среди оставшихся. Это правило делает выдвижение "опасных" предложений таким рискованным делом, что их практически никогда не выдвигают.
Ведь если задуматься, даже если предложение кажется разумным и выгодным многим в совете, ничто не мешает им всем проголосовать против, обогатиться на долю предложившего, а потом подумать о нем снова.
В один прекрасный день, однако, вас осеняет идея. На следующей же встрече совета директоров вы встаете и выдвигаете предложение. Оно принимается единогласно. В результате этого вы становитесь единственным владельцем компании, единственным членом совета директоров, а все остальные, теперь уже бывшие члены, получают в виде компенсации один доллар. На всех.
Ваша задача состоит в том, чтобы во-первых, сформулировать в точности это предложение, и во-вторых, доказать, что оно действительно пройдет единогласно. Вторая часть может быть несколько сложнее первой!
P.S. Я не буду пытаться скрывать правильные решения, потому что это сложно - основная идея "витает в воздухе", но трудность в том, чтобы ее правильно использовать, и в том, чтобы строго доказать. Так что не заглядывайте в комментарии, если хотите решить сами - "витающих в воздухе" приблизительных идей уже сейчас там несколько, а скоро наверняка и точные решения появятся.
P.P.S. Предполагается, что все директора действуют исключительно в интересах максимизации собственного имущества, и всем этот факт известен. Кроме того, любые действия в обход механизма предложений и голосований исключаются (т.е. я не могу пообещать заказать ваше убийство, если вы проголосуете против моего предложения).
Вам приналежит ровно 1/13 компании, как и каждому из остальных директоров. Вместе с 12 вашими коллегами, каждую неделю вы участвуете в заседании совета директоров, во время которого вы рассаживаетесь по кругу. Любой директор имеет право выдвинуть предложение, и как только он его выдвигает, все голосуют следующим образом: предложивший автоматически считается "за", после него голосует следующий за ним по часовой стрелке, потом следующий и так далее до конца круга. Голосование открытое, так что каждый знает голоса предыдущих. Голосовать можно только "за" или "против". Предложение принимается только если оно получает большинство (больше 50%) голосов.
Для того, чтобы уменьшить число махинаций и стабилизировать работу совета, существует также следующее правило. Любое предложение, которое включает в себя перераспределение имущества компании, изменение состава совета директоров, или изменение правил голосования, называется "опасным". В случае, если "опасное" предложение не принимается, его автор и все другие директора, проголосовавшие "за" автоматически теряют свои места в совете директоров и теряют свои доли в компании, которые перераспределяются равным образом среди оставшихся. Это правило делает выдвижение "опасных" предложений таким рискованным делом, что их практически никогда не выдвигают.
Ведь если задуматься, даже если предложение кажется разумным и выгодным многим в совете, ничто не мешает им всем проголосовать против, обогатиться на долю предложившего, а потом подумать о нем снова.
В один прекрасный день, однако, вас осеняет идея. На следующей же встрече совета директоров вы встаете и выдвигаете предложение. Оно принимается единогласно. В результате этого вы становитесь единственным владельцем компании, единственным членом совета директоров, а все остальные, теперь уже бывшие члены, получают в виде компенсации один доллар. На всех.
Ваша задача состоит в том, чтобы во-первых, сформулировать в точности это предложение, и во-вторых, доказать, что оно действительно пройдет единогласно. Вторая часть может быть несколько сложнее первой!
P.S. Я не буду пытаться скрывать правильные решения, потому что это сложно - основная идея "витает в воздухе", но трудность в том, чтобы ее правильно использовать, и в том, чтобы строго доказать. Так что не заглядывайте в комментарии, если хотите решить сами - "витающих в воздухе" приблизительных идей уже сейчас там несколько, а скоро наверняка и точные решения появятся.
P.P.S. Предполагается, что все директора действуют исключительно в интересах максимизации собственного имущества, и всем этот факт известен. Кроме того, любые действия в обход механизма предложений и голосований исключаются (т.е. я не могу пообещать заказать ваше убийство, если вы проголосуете против моего предложения).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2011-02-14 08:30 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:32 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:33 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:34 pm (UTC)того, кто первый проголосует "против"
no subject
Date: 2011-02-14 08:37 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:38 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:38 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:38 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:41 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:43 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:46 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:46 pm (UTC)На вопрос не отвечает, но забавно подумать, к чему приведет. Если большинство проглосует "за", это будет значить, что они проголосовали "против".
no subject
Date: 2011-02-14 08:47 pm (UTC)вот такое какое-то условие должно быть
no subject
Date: 2011-02-14 08:48 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:48 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:48 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:49 pm (UTC)Если 6 человек уже проголосовало против, то остальным выгоднее голосовать за, т.к. тогда они получают по целой доле, а при голосовании против - не больше 6/7 долей. Поэтому при 5и против следующий будет за, а значит при четырёх против следующий будет за и т.д. Т.ч. решение будет принято.
Почему после 7 голосов за остальные, поняв, что решение будет принято, будут всё равно голосовать "за"? Голос против означает потерю всего, голос за - в худшем случае останется 1 доллар.
no subject
Date: 2011-02-14 08:51 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 08:53 pm (UTC)расстрелятьисключить из совета.Тогда каждый голосующий будет понимать, что если именно он сейчас проголосует "против" - остальным будет выгодно голосовать "за": они уже ничего не теряют, зато приобретают 1/13 доли, при этом голосующий "против" теряет всё, а голосующий "за" - имеет с этого хотя бы семь центов...
no subject
Date: 2011-02-14 08:56 pm (UTC)Т.е. например если бы все 12 остальных директоров были бит-в-бит идентичными компьютерными программами, выбиравшими стратегию [Номер-места -> решение], то стратегию они бы выбрали одну и ту же, и эта стратегия не была бы такой плохой, т.к. всем дружно отказаться - лучше.
"Уволим первого, кто проголосует против" - форма парадокса неожиданной казни (http://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox), с теми же проблемами, которых тьма тьмущая (http://dedekind.mit.edu/~tchow/surprise.pdf), так что действительно будут большие проблемы с удовлетворительным доказательством, даже при введении необходимых допущений об алгоритмах мышления, используемых директорами.
no subject
Date: 2011-02-14 08:57 pm (UTC)1. автор опасного предложения, принятого единогласно, имеет право всех выгнать за компенсацию в один доллар.
2. кто против этого предложения, того выгоняем без компенсации.
первый директор обязан голосовать за. если он будет против, остальные будут за (потому что захотят поживиться его долей) и его выгонят без компенсации. а если он будет за, получит больше нуля.
второй директор обязан голосовать за... и т.д.
примерно в таком ключе, наверное.
no subject
Date: 2011-02-14 08:58 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 09:05 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 09:15 pm (UTC)no subject
Date: 2011-02-14 09:17 pm (UTC)Вообще, условие сформулировано не совсем внятно. Положим, в предложении сказано, что те, кто против, должны быть сожжены на медленном огне. Понятно, что рисковать мало кто захочет. Видимо, предложение для голосования чем-то ограничено?