некоторые рассуждения о природе счёта
Feb. 7th, 2002 03:33 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaОдни переводы косяком в последнее время. Эта запись, для разнообразия, будет о философии математики.
Есть некая довольно распостранённая метафора (или, возможно, не метафора, а - некий вид аргумента, ход мысли), которую мне хотелось бы рассмотреть пристальней — и показать её несостоятельность. Рассуждение, которое я имею в виду, обычно выглядит примерно вот как.
Итак, территория очерчена, столбы воткнуты, рукава закатаны, можно приступать.
Что такое счёт? Что именно происходит, когда мы говорим: вот яблоко... и вот яблоко... вместе два яблока!
Задав этот вопрос, тут же его проигнорирую. Есть устоявшиеся школы, есть платонисты и формалисты и ещё всякие -исты. Незачем туда сейчас заходить и это ворошить. Вопрос чрезвычайно важный, но не для данной записи.
Поэтому переформулирую. Что происходит не вообще, а на субъективном уровне, в нашем восприятии? А вот что: происходит пространственное сближение.
Считая предметы, мы соединяем их вместе в пространстве (и во времени тоже, но это менее важно). Иногда буквально: когда учим детей считать. Вот одно яблоко, а вот я рядом с ним кладу другое - сколько всего яблок? Но чаще - в нашем воображении. На разных концах длинного стола разбросано штук шесть карандашей. Сколько именно этих карандашей? - охватывая весь стол взглядом, соединяем их вместе в пространстве и подсчитываем, отвечаем: шесть. У меня есть три овцы в Швейцарии и две в Англии, сколько у меня всего овец? - задаю себе этот вопрос и мгновенно перед глазами встает что-то вроде карты, неточной, без контуров, но чего-то картообразного, где в одном месте находятся швейцарские овцы, а в другом английские; соединив их таким образом в пространстве своего воображения, мгновенно отвечаю: пять.
Но овец будет пять, даже если я их никак не соединю в пространстве. Сама операция счёта совершенно не зависит даже от строения пространства, и от природы овец она тоже не зависит. Это-то мы хоть знаем. Но вот само действие подсчёта, как бы ни была абстрактна его природа, неизбежно ассоциируется у нас в голове с физической операцией сближения предметов.
Вот наконец и подошли к рассматриваемой метафоре. Возьмём каплю и ещё одну каплю, что у нас вместе получится?
Конечно же, две капли. Но задумавшись над вопросом, мы автоматически проводим операцию пространственного сближения, которая всегда у нас сопутствует подсчёту. И что происходит тогда? - сблизили две капли, и они слились в одну. Значит, одна капля плюс одна капля равняется одна капля? Нет. Ассоциация работает в одну сторону, только надо это как следует осознать. Сближение капель в пространстве не является процедурой их подсчёта, оно является только подпоркой, психологически удобным способом воспринимать процедуру подсчёта. Осознав это, мы можем посчитать капли, не сдвигая их. Вот одна капля, слева от меня, а вот другая, справа, сколько их вместе? - сознательно удерживая их в воображении там, где они есть, отвечаю: две капли. Вот кролик и крольчиха, сколько всего кроликов? - сознательно удерживая их в воображении в этом же временном срезе, отвечаю: два кролика. Фокус в том, чтобы чётко отличить абстрактную операцию счёта от конкретизированных подпорок, которые продолжает нам подбрасывать наше же сознание. После того, как добиваешься этого, несостоятельность предлагаемой метафоры становится просто самоочевидной.
Каков же вывод? Метафора неверна, поскольку принимает за счёт что-то, что счётом не является - причём не является нигде, ни в "математике", ни в "физике". То есть с её помощью провести границу между математикой и физикой не получается, эта граница проходит в других областях. А счёт предметов выявляет себя в качестве действия неизбежно абстрактного, "математического", даже внутри "физики", даже в применении к конкретным физическим предметам.
Продолжение этой темы когда-нибудь воспоследует.
Есть некая довольно распостранённая метафора (или, возможно, не метафора, а - некий вид аргумента, ход мысли), которую мне хотелось бы рассмотреть пристальней — и показать её несостоятельность. Рассуждение, которое я имею в виду, обычно выглядит примерно вот как.
В математике один плюс один всегда будет два. А в природе - необязательно, что показывает абстрактную природу математики и коренное отличие между ней и естественными науками вроде физики и химии. Один стол и ещё один стол, действительно дадут вместе два стола. Но, скажем, одна капля воды и ещё одна капля - вместе получится большая капля, а не две капли воды. Одна элементарная частица и ещё одна вместе могут дать четыре, или вообще ни одной. И так далее.Я сейчас никого не процитировал, а просто выписал первое, что придёт в голову. Но в той или иной форме - с несущественными заменами, например 1+1 на дважды два или капель воды на кроликов (которые размножаются) - этот аргумент встречается довольно часто. Иногда его цитируют в шутку, иногда всерьёз. Несколько раз он попадался мне в серьёзных источниках по философии науки или математики. А вот недавний пример этого же аргумента в ЖЖ, который мне как раз и напомнил о давних своих мыслях на эту тему.
Итак, территория очерчена, столбы воткнуты, рукава закатаны, можно приступать.
Что такое счёт? Что именно происходит, когда мы говорим: вот яблоко... и вот яблоко... вместе два яблока!
Задав этот вопрос, тут же его проигнорирую. Есть устоявшиеся школы, есть платонисты и формалисты и ещё всякие -исты. Незачем туда сейчас заходить и это ворошить. Вопрос чрезвычайно важный, но не для данной записи.
Поэтому переформулирую. Что происходит не вообще, а на субъективном уровне, в нашем восприятии? А вот что: происходит пространственное сближение.
Считая предметы, мы соединяем их вместе в пространстве (и во времени тоже, но это менее важно). Иногда буквально: когда учим детей считать. Вот одно яблоко, а вот я рядом с ним кладу другое - сколько всего яблок? Но чаще - в нашем воображении. На разных концах длинного стола разбросано штук шесть карандашей. Сколько именно этих карандашей? - охватывая весь стол взглядом, соединяем их вместе в пространстве и подсчитываем, отвечаем: шесть. У меня есть три овцы в Швейцарии и две в Англии, сколько у меня всего овец? - задаю себе этот вопрос и мгновенно перед глазами встает что-то вроде карты, неточной, без контуров, но чего-то картообразного, где в одном месте находятся швейцарские овцы, а в другом английские; соединив их таким образом в пространстве своего воображения, мгновенно отвечаю: пять.
Но овец будет пять, даже если я их никак не соединю в пространстве. Сама операция счёта совершенно не зависит даже от строения пространства, и от природы овец она тоже не зависит. Это-то мы хоть знаем. Но вот само действие подсчёта, как бы ни была абстрактна его природа, неизбежно ассоциируется у нас в голове с физической операцией сближения предметов.
Вот наконец и подошли к рассматриваемой метафоре. Возьмём каплю и ещё одну каплю, что у нас вместе получится?
Конечно же, две капли. Но задумавшись над вопросом, мы автоматически проводим операцию пространственного сближения, которая всегда у нас сопутствует подсчёту. И что происходит тогда? - сблизили две капли, и они слились в одну. Значит, одна капля плюс одна капля равняется одна капля? Нет. Ассоциация работает в одну сторону, только надо это как следует осознать. Сближение капель в пространстве не является процедурой их подсчёта, оно является только подпоркой, психологически удобным способом воспринимать процедуру подсчёта. Осознав это, мы можем посчитать капли, не сдвигая их. Вот одна капля, слева от меня, а вот другая, справа, сколько их вместе? - сознательно удерживая их в воображении там, где они есть, отвечаю: две капли. Вот кролик и крольчиха, сколько всего кроликов? - сознательно удерживая их в воображении в этом же временном срезе, отвечаю: два кролика. Фокус в том, чтобы чётко отличить абстрактную операцию счёта от конкретизированных подпорок, которые продолжает нам подбрасывать наше же сознание. После того, как добиваешься этого, несостоятельность предлагаемой метафоры становится просто самоочевидной.
Каков же вывод? Метафора неверна, поскольку принимает за счёт что-то, что счётом не является - причём не является нигде, ни в "математике", ни в "физике". То есть с её помощью провести границу между математикой и физикой не получается, эта граница проходит в других областях. А счёт предметов выявляет себя в качестве действия неизбежно абстрактного, "математического", даже внутри "физики", даже в применении к конкретным физическим предметам.
Продолжение этой темы когда-нибудь воспоследует.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Ìíå êàæåòñÿ,
Date: 2002-02-06 06:28 pm (UTC)Íà ñàìîì äåëå ìàòåìàòèêà îïåðèðóåò ñ îáúåêòàìè èñêëþ÷èòåëüíî àáñòðàêòíûìè. Áåðåòñÿ íàáîð àêñèîì è îïðåäåëåíèé (êèðïè÷èêè) è èññëåäóåòñÿ, ÷òî èç ýòèõ êèðïè÷èêîâ ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî. Îíà íè÷åãî íå çíàåò î êðîëèêàõ. Êðîëèêè îòäûõàþò.
Ôèçèêà æå è äèñöèïëèíû èíæåíåðíûå â îñîáåííîñòè îïåðèðóþò ñ ñîâñåì èíûìè ÿâëåíèÿìè - ìîäåëÿìè. Èìåííî ìîäåëü îïðåäåëÿåò áóäóò ëè êðîëèê è êðîëü÷èõà äâóìÿ êðîëèêàìè èëè îäíîé ñåìüåé êðîëèêîâ. Ìû çàäàåì ñïîñîá âîñïðèÿòèÿ, èç êîòîðîãî óæå ïî÷òè àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò, êàêèå ìàòåìàòè÷åñêèå äåéñòâèÿ ñëåäóåò ïðèìåíÿòü.
×òî òàêîå êàïëÿ? Îòâåòüòå ñåáå, è Âû ïîéìåòå ñêîëüêî èõ ó Âàñ.
Íà ñàìîì äåëå
Date: 2002-02-06 10:25 pm (UTC)no subject
îäíî íî -- ðàññóæäåíèå ïðî ïðîñòîé ñ÷åò, à åñòü åùå ñëîæåíèå. ñëîæåíèå ìîæåò áûòü ïðîñòî ââåäåíèåì â ðàññìîòðåíèå íîâûõ îáúåêòîâ (áåç èõ ñáëèæåíèÿ), à ìîæåò áûòü è èìåííî ñáëèæåíèåì, ñîáèðàíèåì â êó÷ó
òóò ïðîáëåìà â òîì, ÷òî ó îáûâàòåëÿ 1 è 2 â ðàâåíñòâå 1+1=2 ïðèêëàäûâàþòñÿ êî âñåìó áåç ðàçáîðó, áåç êàêîãî-ëèáî ó÷åòà ñâîéñòâà îáúåêòîâ è äåéñòâèé íàä íèìè (õîòÿ, êîíå÷íî, êàæäûé ÷åëîâåê âèäèò ðàçíèöó ìåæäó ñêëàäûâàíèåì êàðàíäàøåé â êó÷ó è ñëèâàíèåì êàïåëü â ëóæó), â íàóêå æå âñåãäà îãîâàðèâàþòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, óñëîâèÿ ïðèìèíèìîñòè, ïðåíåáðåæåíèÿ è ïðî÷àÿ. åñëè ìû ñ÷èòàåì áàðàíîâ èëè êàðàíäàøè, òî ïðàâèëà ñëîæåíèÿ öåëûõ ÷èñåë ðàáîòàþò è èõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü. åñëè æå ìû ñ÷èòàåì êàïëè, èëè áàðàíüå ìÿñî, èëè ìû ñêëåèâàåì êàðàíäàøè â îäèí äëèííûé êàðàíäàø, òî ýòî óæå íå öåëûå ÷èñëà, òóò íàäî ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé ìíîæåñòâ. â äðóãèõ ñëó÷àÿõ ïîäîéäóò åùå êàêèå-òî ðàçäåëû ìàòåìàòèêè
îáûâàòåëü æå ôðàçîé " ìàòåìàòèêå îäèí ïëþñ îäèí âñåãäà áóäåò äâà" îäíèì ìàõîì óáèâàåò âñå áîãàòñòâî è âñþ ãèáêîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà è ñâîäèò åãî ê åäèíñòâåííîìó, ÷òî åìó èçâåñòíî -- ñ÷åòó ïî ïàëüöàì. åñòåñòâåííî, ìàòåìàòèêà â òàêîì îáúåìå æóòêî îãðàíè÷åíà è ïðàêòè÷åñêè íåæèçíåñïîñîáíà, â ÷åì îáûâàòåëü òóò æå è óáåæäàåòñÿ ïðîñòûì ëîãè÷åñêèì ôèíòîì óøàìè
äàæå ïðîôåññèîíàëüíûå ó÷åíûå èíîãäà ãðåøàò ýòèì -- èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèé/òåîðèé âíå ñôåðû èõ ïðèìåíèìîñòè. îáû÷íîìó æå ÷åëîâåêó ïî÷åìó-òî ëþáàÿ òåîðèÿ ÷àñòî êàæåòñÿ Òåîðèåé Âñåãî :)
no subject
Date: 2002-02-06 08:31 pm (UTC)Äà, ÿ èõ íå ðàññìàòðèâàë îòäåëüíî, âîçìîæíî, çðÿ, íàäî îá ýòîì ïîäóìàòü íåìíîãî.
(ïîäóìàë. ñì. ñëåäóþùóþ çàïèñü. Ñïàñèáî çà íàïîìèíàíèå î ñëîæåíèè).
òóò ïðîáëåìà â òîì, ÷òî ó îáûâàòåëÿ 1 è 2 â ðàâåíñòâå 1+1=2 ïðèêëàäûâàþòñÿ êî âñåìó áåç ðàçáîðó, áåç êàêîãî-ëèáî ó÷åòà ñâîéñòâà îáúåêòîâ è äåéñòâèé íàä íèìè (õîòÿ, êîíå÷íî, êàæäûé ÷åëîâåê âèäèò ðàçíèöó ìåæäó ñêëàäûâàíèåì êàðàíäàøåé â êó÷ó è ñëèâàíèåì êàïåëü â ëóæó), â íàóêå æå âñåãäà îãîâàðèâàþòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, óñëîâèÿ ïðèìèíèìîñòè, ïðåíåáðåæåíèÿ è ïðî÷àÿ. åñëè ìû ñ÷èòàåì áàðàíîâ èëè êàðàíäàøè, òî ïðàâèëà ñëîæåíèÿ öåëûõ ÷èñåë ðàáîòàþò è èõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü. åñëè æå ìû ñ÷èòàåì êàïëè, èëè áàðàíüå ìÿñî, èëè ìû ñêëåèâàåì êàðàíäàøè â îäèí äëèííûé êàðàíäàø, òî ýòî óæå íå öåëûå ÷èñëà, òóò íàäî ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé ìíîæåñòâ. â äðóãèõ ñëó÷àÿõ ïîäîéäóò åùå êàêèå-òî ðàçäåëû ìàòåìàòèêè
Ý, íåò. Íà ìîé âçãëÿä Âû òóò äîïóñêàåòå èìåííî òó ñàìóþ îøèáêó, ïðîòèâ êîòîðîé ÿ ïûòàþñü áîðîòüñÿ â ýòîé çàïèñè.
Ñëîæåíèå 1+1=2 âñåãäà îäíî è òî æå, è ïðèìåíÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíî ñîâåðøåííî îäèíàêîâî ê ëþáûì îáúåêòàì, ëþáîé ïðèðîäû. Îøèáêà ñîñòîèò â òîì, ÷òî, êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî ñëèÿíèå êàïåëü èëè ñêëåèâàíèå êàðàíäàøåé ñóòü ïðèìåðû, îïðîâåðãàþùèå 1+1=2, íå ïîíèìàþò, ÷òî â ýòèõ ïðèìåðàõ ðå÷ü óæå íå èä¸ò î ñëîæåíèè. Ðå÷ü èä¸ò î äðóãîé, íå-àáñòðàêòíîé îïåðàöèè, êîòîðóþ íàçûâàòü ñëîæåíèåì ïðîñòî íåçàêîíîìåðíî. Îíà ïîõîæå íà ñëîæåíèå ñâîèì îáðàçîì â íàøåì âîîáðàæåíèè (îáðàçîì ñîâìåùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå), íî îáðàç â äàííîì ñëó÷àå âòîðè÷åí è îáìàíûâàåò íàñ.
no subject
ïðî òå æå ìíîæåñòâà ãîâîðÿò "îáúåäèíåíèå", ïðî äåéñòâèÿ (ïðåîáðàçîâàíèÿ) -- "ñóïåðïîçèöèÿ", îäíàêî çà÷àñòóþ â íåñòðîãîì òåêñòå èñïîëüçóåòñÿ ïðîñòî "ñëîæåíèå", ïðè ýòîì â óìå -- ÷òî èìåííî ïîä "ñëîæåíèåì" ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ñ÷åò èëè ñëèÿíèå èëè ÷òî... îñîáåííî êîãäà ìàòåìàòèêà ÿâëÿåòñÿ íå îáüåêòîì ðàññóæäåíèÿ, à òîëüêî åãî èíñòðóìåíòîì
çàïèñü 1+1=2 âñåãäà îçíà÷àåò îäíî è òî æå, òàê êàê òàê çàïèñûâàåòñÿ êîíêðåòíàÿ îïåðàöèÿ, ñëîâà "òî ñëîæèòü ñ òåì -- áóäåò òî-òî" ìîãóò îçíà÷àòü ÷òî óãîäíî (êñòàòè òà æå çàïèñü, íàáðîñàííàÿ íà ÷åðíîâèêå, òîæå âîñïðèíèìàåòñÿ ñêîðåå íå êàê ñòðîãàÿ çàïèñü, à êàê ñâîáîäíîå ðàññóæäåíèå, çàïå÷àòëåííîå äëÿ óäîáñòâà íà ÷åì-òî, íà ÷åì ìîæíî îñòàíîâèòü âçãëÿä è ïîäóìàòü ;] ). ÷åòêîñòü ôîðìóëèðîâêè æå äîñòèãàåòñÿ íà êàêèõ-òî êîíå÷íûõ ñòàäèÿõ, â ñòàòüÿõ, ó÷åáíèêàõ è ò.ï.
â ýòîì åùå îäíà ïðîáëåìà -- ó ñïåöèàëèñòà åñòü çàïàñ çíàíèé, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ îí äîñòðàèâàåò ôðàçó äî åå ïîëíîãî ñìûñëà, íåñïåöèàëèñò âîñïðèíèìàåò åå êàê åñòü. â òàêîì ñëó÷àå òðåáóåòñÿ ïîíèìàíèå íåñïåöèàëèñòîì (äà è ñïåöèàëèñòîì òîæ ;] ) ñâîåé îãðàíè÷åííîñòè â âîïðîñå è âîçìîæíûõ íåòî÷íîñòåé ôîðìóëèðîâêè, ÷òî ïðèñóòñòâóåò äàëåêî íå âñåãäà. à ÷åëîâåê -- îí è åñòü ÷åëîâåê, ÷òî ïîäåëàåøü, ïðîöåññ ïðåîáðàçîâàíèÿ ìûñëåé â ñëîâà äàëåêî íå èäåàëåí, îäèí ïðîôåññèîíàëüíûé æàðãîí ÷åãî ñòîèò :)
no subject
Date: 2002-02-07 12:58 am (UTC)no subject
õîòÿ â ïðèìåðå
??????-????????, ????????????????, ???? ?????? ?? ?????? ?????????? ?????????? ???? ???????? ???????
Date: 2002-02-07 02:27 am (UTC)Êîãäà ïîíà÷àëó çàíèìàåøüñÿ ìàòåìàòèêîé, âñå ïîäîáíîå êàæåòñÿ î÷åâèäíûì è íàä íèì ïî÷òè íå çàäóìûâàåøüñÿ. À âîò êîãäà íàäî äåòÿì, êîòîðûõ ó÷èøü, îáúÿñíèòü...
ß óæå çàáûëà óìíûé òåðìèí, íî ãäå-òî â 10-12 ëåò äåòè íà÷èíàþò îïåðèðîâàòü àáñòðàêòíûìè ïîíÿòèÿìè. Íîðìàëüíûé ñåìèëåòíûé ðåá¸íîê íå âîñïðèìåò ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ, ïîòîìó ÷òî ïðîñòî íå ïîéìåò àáñòðàêòíîé çàïèñè. Êîãäà ÿ íà÷àëà âåñòè ìàòåìàòè÷åcêèé êðóæîê, ÿ ýòî âñå õîðîøî ïî÷óâñòâîâàëà - äåòè áûëè ðàçíûå, â îñíîâíîì, î÷åíü ñïîñîáíûå, âîçðàñò êàê ðàç îò 9 äî 12. È ÿ ïðîñòî óâèäåëà, êàê äàæå î÷åíü óìíûì, íî ìàëåíüêèì (ó êîòîðûõ â øêîëå åù¸ àáñòðàêòíûõ çàïèñåé íå áûëî, è äàæå îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë) ïîíà÷àëó áûëî òðóäíî ïîíÿòü.
Òî, ÷òî îáû÷íî íå ïîíèìàþò ëþäè, ïðèâîäÿùèå öèòèðóåìûå Âàìè ðàññóæäåíèÿ, òàê ýòo òî, ÷òî àêñèîìû ïðèäóìûâàþòñÿ íå äëÿ òîão, ÷òîáû íàñëàæäàòüñÿ êðàñîòîé àáñòðàêöèè, à êàê ðàç, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðîâîäèòü ôîðìàëüíûå ðàññóæäåíèÿ.
È àêñèîìàòèêà - îòíóäü íå ïåðâàÿ ñòóïåíü. Äðóãîå äåëî, ÷òî ÷àñòî îíà ïðîèçâîäèò ðåâîëþöèþ - òàê êàê ïåðåâîäèò âñå íà íîâûé ÿçûê, äàâàÿ ñîâåðøåííî äðóãèå âîçìîæíîñòè è óñòðàíàÿ òå ñàìûå ïðîòèâîðå÷èÿ, íåÿñíîñòè è ñìóòíîñòè. Ýòî áûëî ñäåëàíî, íàïðèìåð, Êîëìîãîðîâûì â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (êîòîðàÿ, âñå-òàêè äàëåêî íå ñ íåãî íà÷àëàñü). Äà è äî àêñèîì Åâêëèäà î÷åíü ìíîãî áûëî èçâñåòíî. (Íàïðèìåð, â òîì æå Åãèïòå...)
Íî ÿ íåìíîãî óõîæó îò òåìû. Àêñèîìû òåîðèè ãðóïï íóæíû òî÷íî òàê æå äëÿ ôîðìàëèçàöèè íàøèõ èíòóèòèâíûõ ïîíÿòèé. Äà, â ãðóïïå, ñèðå÷ü, öåëûõ ÷èñëàõ, 1+1=2. Ïî îïðåäåëåíèþ ñëîæåíèÿ. Íî ýëåìåíòàðíûé ñ÷åò, êîíå÷íî æå, ïåðâè÷åí. Îïÿòü-òàêè, åñòü óìíûå ñëîâà è òåîðèè ïî ýòîìó ïîâîäó, íî ýìïðèðè÷åñêàÿ ñòàäèÿ âñåãäà ïåðâè÷íà. À ïîòîì óæå èäåò àíàëèç è ôîðìàëèçàöèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, åñëè óæ ãîâîðèòü î ìàòåìàòèêå è ðàçíîîáðàçíîì ñëîæåíèè (êàïåëü, íàïðèìåð), òî ñêàçàòü íàäî - ñìîòðÿ íà êàêîì ìíîæåñòâå è êàê îïðåäåëèòü îïåðàöèþ :-)
Re: ??????-????????, ????????????????, ???? ?????? ?? ?????? ?????????? ?????????? ???? ???????? ???
À ÿ åùå è Âàñ ëþáëþ âî âñåõ ñìûñëàõ. Ïîñëåäíåå âðåìÿ ÿ ïî÷òè ïåðåñòàë âûñêàçûâàòüñÿ òóò î ìàòåìàòèêå. Âû ýòî äåëàåòå êóäà ëó÷øå.
Óñïåõîâ!
Ôð.
Re: ??????-????????, ????????????????, ???? ?????? ?? ?????? ?????????? ?????????? ???? ???????? ???
Áóäó, áóäó
Date: 2002-02-07 04:06 am (UTC)Õîòÿ ÿ íåìàëî äóìàë íàä ýòèìè âåùàìè. Ìîæíî âåäü ñïóñòèòüñÿ åùå íèæå, ïðîñòî ê êîíöåïöèè öåëîãî ÷èñëà, âíå ñâÿçè ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ êàê ìîäåëè ñ÷åòà ïðåäìåòîâ. Íà ìîé âçãëÿä, âûäåëåíèå ÷èñëà 2 êàê îáùåãî ýëåìåíòà â äâóõ áàðàíàõ, äâóõ äåðåâüÿõ, äâóõ ðûáàõ è ò.ï. è åñòü âåëè÷øàÿ èç àáñòðàêöèé, íà ôîíå êîòîðîé ïðîèçâîäíûå êàòåãîðèè è ñìåøàííûå ìîòèâû ÿâëÿþòñÿ ëèøü íåçíà÷èòåëüíûì ïðîãðåññîì.
Re: Áóäó, áóäó
Date: 2002-02-07 04:09 am (UTC)׸ðò, îá ýòîì æå òîæå åñòü ÷òî çàïèñàòü, íî âñ¸ íå âûõîäèò, âðåìåíè íåò íîðìàëüíî îáäóìàòü è ñôîðìóëèðîâàòü.
íó è ÿ âàñ òîæå.
Date: 2002-02-07 05:53 am (UTC)Re: íó è ÿ âàñ òîæå.
(Òóò, âîîáùå, ïîõîæå, menage a trois, ó÷èòûâàÿ ìîè òåïëûå ÷óâñòâà ê
Re: íó è ÿ âàñ òîæå.
Re: íó è ÿ âàñ òîæå.
Date: 2002-02-07 07:26 am (UTC)Re: íó è ÿ âàñ òîæå.
Date: 2002-02-07 07:28 am (UTC)Re: ??????-????????, ????????????????, ???? ?????? ?? ?????? ?????????? ?????????? ???? ???????? ???
Date: 2002-02-08 02:39 pm (UTC)Íî ñ òåõ ïîð ÿ ñèëüíî ïîãëóïåë, ê ñîæàëåíèþ. :-(
no subject
Date: 2002-02-07 10:55 am (UTC)ß âèæó ýòî òàê, ÷òî ëþáîé ñ÷åò, ïðèìåíåíèå ñ÷åòíûõ ìåòîäîâ è ò.ä. - çàðàíåå ïðåäïîëàãàþò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ïîíÿòèÿ, êàê "åäèíèöà" (òî åñòü ýòî ñóùåñòâîâàíèå åñòü íå äîñòàòî÷íîå, íî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñ÷åòà). Íà ýòîì, ñîáñòâåííî, ïîñòðîåíî äîêàçàòåëüñòâî íåâîçìîæíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè - íà òîì, ÷òî ïîëåçíîñòü è ïðåäïî÷òåíèÿ íîñÿò íå êàðäèíàëüíûé õàðàêòåð, à îðäèíàëüíûé, èåðàðõè÷åñêèé, â ðåçóëüòàòå ÷åãî íåâîçìîæíî óêàçàòü íà "åäèíè÷íóþ" ïîëåçíîñòü èëè öåííîñòü.
Òàê âîò, ëþáîå ïðèìåíåíèå ñ÷åòà ê "ôèçè÷åñêîé" ðåàëüíîñòè ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåò óìîçðèòåëüíóþ ôèêñàöèþ åäèíèöû êàê èñõîäíîé êàòåãîðèè âñåãî ïðîöåññà. Åñëè ìû ãîâîðèì î ïåðåñ÷åòå çâåçä, îâåö, êàïåëü, ÿáëîê - òî òåì ñàìûì çàðàíåå ïîäðàçóìåâàåì êàòåãîðèþ "åäèíè÷íîé", òî åñòü íåèçìåííîé (íåèçìåíÿåìîé â êîíòåêñòå äàííîãî ðàññóæäåíèÿ, ñ÷åòà, óìîçðèòåëüíîé ìîäåëè) çâåçäû, îâöû, êàïëè, ÿáëîêà.
Êàê òîëüêî íàì ãîâîðÿò, ÷òî, ìîë, äâå çâåçäû ïðåâðàùàþòñÿ â îäíó, äâå îâöû ðîæàþò òðåòüþ, äâà ÿáëîêà âîîáùå ñúåäàþòñÿ è ò.ä. - òî èìïëèöèòíûå óñëîâèÿ "ìîäåëè ñ÷åòà" íàðóøàþòñÿ. Òî åñòü ñèòóàöèÿ - òîãî æå êëàññà, êàê "îïðîâåðæåíèå" ìàòåìàòèêè ïðèìåðíî òàêèì îáðàçîì: "âîò ìàòåìàòèêè ãîâîðÿò, ÷òî äâà ïëþñ îäèí ðàâíÿåòñÿ òðåì; íî åñëè ìû ýòó ïðèáàâëÿåìóþ åäèíèöó ïðèìåì ðàâíîé ïÿòè, òî 2 + 1 = 7; ïðîòèâîðå÷èå-ñ!"
no subject
Date: 2002-02-07 01:19 pm (UTC)Íà ñàìîì äåëå, åñòü äâà ðàçíûõ ïîíÿòèÿ ÷èñëà. Åñòü ÷èñëî êàê ìîùíîñòü êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà è åñòü ÷èñëî êàê êëàññ èçîìîðôèçìà *ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ* êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ. Êîíå÷íî, ýòè äâà ïîíÿòèÿ ýêâèâàëåíòíû, òî åñòü ëó÷øå ñêàçàòü, ÷òî ýòî äâà îïðåäåëåíèÿ îäíîãî è òîãî æå ïîíÿòèÿ. Íî ýòî äâà î÷åíü ðàçíûõ îïðåäåëåíèÿ. Èõ ýêâèâàëåíòíîñòü åñòü íåêîòîðàÿ òåîðåìà, ïóñòü è íåñëîæíàÿ.
Äàâàéòå ÿ áóäó íàçûâàòü ýòè øòóêîâèíû ÷èñëî_ì è ÷èñëî_ó ("ìîùíîñòü" è "óïîðÿäî÷åííàÿ ìîùíîñòü"). Òîãäà ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÷èñëî ÿáëîê èëè îâåö -- ýòî ÷èñëî_ì, à ÷èñëî óäàðîâ ÷àñîâ èëè ïîõîäîâ â ìàãàçèí -- ýòî ÷èñëî_ó. Óäàðû ÷àñîâ, êàê è ïîõîäû â ìàãàçèí, èçíà÷àëüíî óïîðÿäî÷åíû ïî âðåìåíè.
Òåïåðü ÿ äóìàþ, ÷òî ÷èñëî_ó -- ýòî, íà ñàìîì äåëå, áîëåå ïåðâè÷íîå ïîíÿòèå, ÷åì ÷èñëî_ì. Êîãäà ïðåäìåòîâ äîñòàòî÷íî ìíîãî, òàê ÷òî èõ ÷èñëî_ì íåëüçÿ íàçâàòü ñ îäíîãî âçãëÿäà, òî îñòàåòñÿ òîëüêî ñ÷èòàòü ïî ïîðÿäêó: ïåðâûé, âòîðîé, òðåòèé, è ò.ä. Òî åñòü íåîáõîäèìî âûáðàòü êàêîå-íèáóäü óïîðÿäî÷åíèå, ïîòîì âû÷èñëèòü ñâÿçàííîå ñ íèì ÷èñëî_ó, à ïîòîì... âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé îá ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ ïîíÿòèé ÷èñëà.
Èíòåðåñíî, ÷òî ñàìà òåîðåìà ïðè áîëüøîì ÷èñëå ïðåäìåòîâ ïåðåñòàåò áûòü èíòóèòèâíî î÷åâèäíîé. Êîãäà ÿ ïðåäñòàâëÿþ èëè âñïîìèíàþ ñåáÿ ïåðåñ÷èòûâàþùèì êàêèå-íèáóäü íåñêîëüêî ñîòåí êàðòî÷åê, ñíà÷àëà â îäíîì, à ïîòîì â äðóãîì ïîðÿäêå, è îòâåòû ïîëó÷àþòñÿ îäèíàêîâûìè -- ýòî, íà ñàìîì äåëå, òàêîå ìàëåíüêîå ÷óäî. ß ïðèâûê ê ýòîìó, ÿ çíàþ, ÷òî òàê äîëæíî áûòü, íî âñå ðàâíî òóò åñòü ÷åìó óäèâèòüñÿ. Çàòî åñëè ÿ ïåðåñ÷èòûâàë èõ äâàæäû â îäíîì è òîì æå ïîðÿäêå, è îòâåòû ñîøëèñü -- ýòî íå óäèâèòåëüíî.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ïåðåñ÷èòûâàòü êàðòî÷êè â ðàçíîì ïîðÿäêå -- ýòî òàêîé ìàòåìàòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò, ïðîâåðÿþùèé ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðåìó. Íî âñå-òàêè ôèçè÷åñêèå êàðòî÷êè äëÿ íåãî íå îáÿçàòåëüíû. Ìîæíî âîîáðàçèòü ñåáå â ãîëîâå êàêèå-íèáóäü äåñÿòü ïðåäìåòîâ è ïåðåñ÷èòûâàòü èõ â ðàçíîì ïîðÿäêå. Ïîëó÷èòñÿ ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò, ñîâåðøåííî ýêâèâàëåíòíûé ýêñïåðèìåíòó ñî ñ÷åòîì íàñòîÿùèõ ïðåäìåòîâ. Ôèçè÷åñêèå ïðåäìåòû çäåñü èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî â êà÷åñòâå êîñòûëåé è ïîäïîðîê äëÿ ñëàáîãî ÷åëîâå÷åñêîãî âîîáðàæåíèÿ.