avva | некоторые рассуждения о природе счёта

Одни переводы косяком в последнее время. Эта запись, для разнообразия, будет о философии математики.

Есть некая довольно распостранённая метафора (или, возможно, не метафора, а - некий вид аргумента, ход мысли), которую мне хотелось бы рассмотреть пристальней — и показать её несостоятельность. Рассуждение, которое я имею в виду, обычно выглядит примерно вот как.

В математике один плюс один всегда будет два. А в природе - необязательно, что показывает абстрактную природу математики и коренное отличие между ней и естественными науками вроде физики и химии. Один стол и ещё один стол, действительно дадут вместе два стола. Но, скажем, одна капля воды и ещё одна капля - вместе получится большая капля, а не две капли воды. Одна элементарная частица и ещё одна вместе могут дать четыре, или вообще ни одной. И так далее.

Я сейчас никого не процитировал, а просто выписал первое, что придёт в голову. Но в той или иной форме - с несущественными заменами, например 1+1 на дважды два или капель воды на кроликов (которые размножаются) - этот аргумент встречается довольно часто. Иногда его цитируют в шутку, иногда всерьёз. Несколько раз он попадался мне в серьёзных источниках по философии науки или математики. А вот недавний пример этого же аргумента в ЖЖ, который мне как раз и напомнил о давних своих мыслях на эту тему.

Итак, территория очерчена, столбы воткнуты, рукава закатаны, можно приступать.

Что такое счёт? Что именно происходит, когда мы говорим: вот яблоко... и вот яблоко... вместе два яблока!
Задав этот вопрос, тут же его проигнорирую. Есть устоявшиеся школы, есть платонисты и формалисты и ещё всякие -исты. Незачем туда сейчас заходить и это ворошить. Вопрос чрезвычайно важный, но не для данной записи.
Поэтому переформулирую. Что происходит не вообще, а на субъективном уровне, в нашем восприятии? А вот что: происходит пространственное сближение.

Считая предметы, мы соединяем их вместе в пространстве (и во времени тоже, но это менее важно). Иногда буквально: когда учим детей считать. Вот одно яблоко, а вот я рядом с ним кладу другое - сколько всего яблок? Но чаще - в нашем воображении. На разных концах длинного стола разбросано штук шесть карандашей. Сколько именно этих карандашей? - охватывая весь стол взглядом, соединяем их вместе в пространстве и подсчитываем, отвечаем: шесть. У меня есть три овцы в Швейцарии и две в Англии, сколько у меня всего овец? - задаю себе этот вопрос и мгновенно перед глазами встает что-то вроде карты, неточной, без контуров, но чего-то картообразного, где в одном месте находятся швейцарские овцы, а в другом английские; соединив их таким образом в пространстве своего воображения, мгновенно отвечаю: пять.

Но овец будет пять, даже если я их никак не соединю в пространстве. Сама операция счёта совершенно не зависит даже от строения пространства, и от природы овец она тоже не зависит. Это-то мы хоть знаем. Но вот само действие подсчёта, как бы ни была абстрактна его природа, неизбежно ассоциируется у нас в голове с физической операцией сближения предметов.

Вот наконец и подошли к рассматриваемой метафоре. Возьмём каплю и ещё одну каплю, что у нас вместе получится?

Конечно же, две капли. Но задумавшись над вопросом, мы автоматически проводим операцию пространственного сближения, которая всегда у нас сопутствует подсчёту. И что происходит тогда? - сблизили две капли, и они слились в одну. Значит, одна капля плюс одна капля равняется одна капля? Нет. Ассоциация работает в одну сторону, только надо это как следует осознать. Сближение капель в пространстве не является процедурой их подсчёта, оно является только подпоркой, психологически удобным способом воспринимать процедуру подсчёта. Осознав это, мы можем посчитать капли, не сдвигая их. Вот одна капля, слева от меня, а вот другая, справа, сколько их вместе? - сознательно удерживая их в воображении там, где они есть, отвечаю: две капли. Вот кролик и крольчиха, сколько всего кроликов? - сознательно удерживая их в воображении в этом же временном срезе, отвечаю: два кролика. Фокус в том, чтобы чётко отличить абстрактную операцию счёта от конкретизированных подпорок, которые продолжает нам подбрасывать наше же сознание. После того, как добиваешься этого, несостоятельность предлагаемой метафоры становится просто самоочевидной.

Каков же вывод? Метафора неверна, поскольку принимает за счёт что-то, что счётом не является - причём не является нигде, ни в "математике", ни в "физике". То есть с её помощью провести границу между математикой и физикой не получается, эта граница проходит в других областях. А счёт предметов выявляет себя в качестве действия неизбежно абстрактного, "математического", даже внутри "физики", даже в применении к конкретным физическим предметам.

Продолжение этой темы когда-нибудь воспоследует.