о счете и сложении
Nov. 11th, 2012 07:03 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
avvaЯ написал небольшую заметку по-английски о том, как я вижу некоторые аспекты философии математики и применение математики к физическому миру. Вот ее перевод на русский язык:
В дискуссиях на тему о том, что есть математическая истина и как она воплощается в физической реальности, я часто натыкаюсь на ошибочный (на мой взгляд) вид рассуждений, которые формулируют по-разному, но типичные примеры выглядят например так: "камни ведут себя изоморфно натуральным числам, а капли воды - нет: одна капля плюс еще одна капля равняется все еще одна капля", или "два яблока плюс два яблока равно четыре яблока, если только никто не украл тайком одно из них", и так далее. Я попытаюсь объяснить, почему такие рассуждения мне кажутся ошибочными, в чем состоит ошибка и как правильнее смотреть на то, что происходит.
Не одна, а две разные ошибки сочетаются вместе и создают общее состояние путаницы. Я рассмотрю их в отдельности; на мой взгляд они независимы друг от друга и мои аргументы в случае каждой из них можно рассматривать отдельно.
1. Первая ошибка состоит в том, что путают счет и пространственное сближение. Эти две операции мы обычно проводим в уме совместно, потому что так мы учились считать - наблюдая наборы вещей, стоящих рядом - но вовсе необязательно их совмещать. Когда мы говорим "возьми два яблока, добавь еще два яблока, посчитай - теперь у тебя четыре яблока", мы автоматически представляем в уме, как два дополнительных яблока становятся рядом с двумя первоначальными - но это всего лишь удобная уловка, без которой можно легко обойтись. Я сейчас покажу, как. Представьте, что я попросил вас посчитать вместе двух овец в Англии и еще двух в Австралии. Вы представляете в уме английских овец и считаете: один, два. Теперь воздержитесь от соблазна телепортировать австралийских овец и поставить их рядом с английскими; вместо этого слетайте в уме за мгновение в Австралию и посмотрите на австралийское поле - вон они там стоят, три, четыре. Вот вы и посчитали 2+2 овцы, не совмещая их вместе в пространстве, ни в реальной жизни, ни в уме. Это совершенно нормальный способ счета, которым в отдельных ситуациях мы пользуемся все время - скажем, если кто-то попросит вас посчитать, сколько стульев стоит в большой и заполненной мебелью комнате, вы не будете совмещать все эти стулья перед собой в уме, вы просто окинете взглядом комнату и пересчитаете их по одному.
А теперь давайте посмотрим на то, какое отношение это имеет к счету таких объектов, как капли воды или облака. Скажем, кто-то говорит вам: "да, яблоки соблюдают законы арифметики, но одна капля воды плюс еще одна капля воды вместе равны одной капле воды побольше, а не двум". Из вышесказанного должно быть ясно, что ваш собеседник путает совмещение в пространстве с сложением/счетом. Сложение двух яблок и еще двух яблок - это не операция по пространственному их сближению, это умственный акт представления их в качестве одной целой группы, которую можно пересчитать. Просто пространственное сближение в вашем воображении (или на столе) - самый простой способ выполнить такое представление. Но когда речь идет о каплях воды или облаках, пространственная операция начинает мешать, а не помогать - так просто откажитесь от нее. Капля воды плюс капля воды? Несомненно, две капли воды: может, они лежат рядом друг с другом, а может, вообще в разных океанах. Никто не заставляет вас соединять их друг с другом - нет ничего в операции "+", что бы это вам диктовало.
2. Вторая ошибка является примером путаницы между картой и территорией; а именно, мы наивно приписываем территории возможность держать в себе для нашего использования дискретные объекты. Может быть полезным продумать как следует и запомнить, что по крайней мере на нашей макро-шкале восприятия реальности, на шкале, которую дают нам наши чувства, отдельные, дискретные объекты существуют на карте, а не на территории: у нас в уме, а не в реальности. В реальности есть много разных атомов повсюду, и нет "естественного" способа разделить их на объекты в том виде, в каком мы их воспринимаем. (я несколько упрощаю, говоря об атомах - можно спуститься пониже и говорить об элементарных частицах, квантово-механических суперпозициях итд., но это несущественно тут).
Обычно нет особой причины настаивать на этом - нет никакого вреда в том, чтобы представлять реальность состоящей из яблок, камней, облаков и чего угодно еще. Но представьте себе теперь такой аргумент, который нередко встречается: "Математические истины: придуманы ли они людьми или существуют независимо от нас? Было ли 2+2=4 верным до того, как появились люди и изобрели это равенство? Я думаю, что задолго до существования людей, на безжизненной Земле миллирады лет назад, когда два камня выкатились на пляж, на котором уже лежало три камня, всего на пляже оказалось пять камней". Что происходит в этой истории, если подробней присмотреться? Ну во-первых, тут есть использование пространственного совмещения, о котором я писал выше: нам проще представить два камня, вкатывающихся на пляж, чем складывать в уме три камня и еще два из другого места. Но оставим это, еще до самой операции сложения, присмотритесь к этим трем камням, которые лежат на пляже. Что это за объекты? Какие мы вообще имеем основания сказать, что на пляже лежит "камень"? Там есть какая-то куча атомов разных видов, и рядом с ними еще много других атомов (воздух, песок итд.) с несколько другими плотностями и другим поведением, но между всеми этими атомами нет никакой определенной границы. На атомном уровне есть постоянный обмен атомами между всеми этими местами. Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу - например, выбрав определенную градацию шкалы и сгладив все, что ниже ее. В нашем восприятии окружающего мира за нас эту работу выполняют наши грубые чувства; но в этой гипотетической картинке Земли далекого прошлого нет ни нас, ни наших чувств. Реальность не знает никаких "камней" и не интересуется ими - в ней есть только атомы.
С другой стороны, это не означает, на мой взгляд, что существование трех камней на этом пляже - в некотором виде "субъективное" утверждение. Представьте себе, что на пляже везде существуют гипотетические инопланетные наноботы, которые записывают во всех подробностях движения всех атомов и сохраняют этот гигантские массив данных где-нибудь; потом, спустя миллиард лет, вы находите этот архив, расшифровываете его, реконструируете ситуацию - конечно же, тогда вам будет очевидно, что на пляже находилось три камня. То, что на пляже лежат три камня - объективный факт природы; но смысл этого утверждения зависит от конкретной процедуры дискретизации, процедуры выделения и определения отдельных объектов; и реальность за вас эту работу не выполнит. Вы выполняете эту работу своими мозгами. Вот почему счет - и сложение - являются именно что ментальными операциями, которые мы выполняем в уме над ментальными конструкциями; операциями на карте, а не на территории.
Все вышесказанное не означает, что математика "выдумана", а не "открыта"; мой анализ оставляет место как для платонизма, так и для формализма, на мой взгляд. Просто пример пяти камней на пляже до появления человечества не помогает разрешить этот вопрос: без дискретизации "по-человечески" нет смысла у утверждения о том, что там было пять камней, а не просто куча атомов. Все равно может быть верным - и я лично считаю верным - что законы, определяющие поведение дискретных объектов, хоть они обычно и являются ментальными объектами, универсальны, и что 2+2 равно 4 и до того, как появились люди, и у всех возможных инопланетян.
(Наконец, надо отметить, что реальность может оказаться дискретной на микро-уровне - пространство-время может оказаться дискретным, мы вполне можем говорить об отдельных фотонах итд. Но все это не имеет отношения к уровню восприятия наших чувств - уровню яблок, камней, облаков итд.)
В дискуссиях на тему о том, что есть математическая истина и как она воплощается в физической реальности, я часто натыкаюсь на ошибочный (на мой взгляд) вид рассуждений, которые формулируют по-разному, но типичные примеры выглядят например так: "камни ведут себя изоморфно натуральным числам, а капли воды - нет: одна капля плюс еще одна капля равняется все еще одна капля", или "два яблока плюс два яблока равно четыре яблока, если только никто не украл тайком одно из них", и так далее. Я попытаюсь объяснить, почему такие рассуждения мне кажутся ошибочными, в чем состоит ошибка и как правильнее смотреть на то, что происходит.
Не одна, а две разные ошибки сочетаются вместе и создают общее состояние путаницы. Я рассмотрю их в отдельности; на мой взгляд они независимы друг от друга и мои аргументы в случае каждой из них можно рассматривать отдельно.
1. Первая ошибка состоит в том, что путают счет и пространственное сближение. Эти две операции мы обычно проводим в уме совместно, потому что так мы учились считать - наблюдая наборы вещей, стоящих рядом - но вовсе необязательно их совмещать. Когда мы говорим "возьми два яблока, добавь еще два яблока, посчитай - теперь у тебя четыре яблока", мы автоматически представляем в уме, как два дополнительных яблока становятся рядом с двумя первоначальными - но это всего лишь удобная уловка, без которой можно легко обойтись. Я сейчас покажу, как. Представьте, что я попросил вас посчитать вместе двух овец в Англии и еще двух в Австралии. Вы представляете в уме английских овец и считаете: один, два. Теперь воздержитесь от соблазна телепортировать австралийских овец и поставить их рядом с английскими; вместо этого слетайте в уме за мгновение в Австралию и посмотрите на австралийское поле - вон они там стоят, три, четыре. Вот вы и посчитали 2+2 овцы, не совмещая их вместе в пространстве, ни в реальной жизни, ни в уме. Это совершенно нормальный способ счета, которым в отдельных ситуациях мы пользуемся все время - скажем, если кто-то попросит вас посчитать, сколько стульев стоит в большой и заполненной мебелью комнате, вы не будете совмещать все эти стулья перед собой в уме, вы просто окинете взглядом комнату и пересчитаете их по одному.
А теперь давайте посмотрим на то, какое отношение это имеет к счету таких объектов, как капли воды или облака. Скажем, кто-то говорит вам: "да, яблоки соблюдают законы арифметики, но одна капля воды плюс еще одна капля воды вместе равны одной капле воды побольше, а не двум". Из вышесказанного должно быть ясно, что ваш собеседник путает совмещение в пространстве с сложением/счетом. Сложение двух яблок и еще двух яблок - это не операция по пространственному их сближению, это умственный акт представления их в качестве одной целой группы, которую можно пересчитать. Просто пространственное сближение в вашем воображении (или на столе) - самый простой способ выполнить такое представление. Но когда речь идет о каплях воды или облаках, пространственная операция начинает мешать, а не помогать - так просто откажитесь от нее. Капля воды плюс капля воды? Несомненно, две капли воды: может, они лежат рядом друг с другом, а может, вообще в разных океанах. Никто не заставляет вас соединять их друг с другом - нет ничего в операции "+", что бы это вам диктовало.
2. Вторая ошибка является примером путаницы между картой и территорией; а именно, мы наивно приписываем территории возможность держать в себе для нашего использования дискретные объекты. Может быть полезным продумать как следует и запомнить, что по крайней мере на нашей макро-шкале восприятия реальности, на шкале, которую дают нам наши чувства, отдельные, дискретные объекты существуют на карте, а не на территории: у нас в уме, а не в реальности. В реальности есть много разных атомов повсюду, и нет "естественного" способа разделить их на объекты в том виде, в каком мы их воспринимаем. (я несколько упрощаю, говоря об атомах - можно спуститься пониже и говорить об элементарных частицах, квантово-механических суперпозициях итд., но это несущественно тут).
Обычно нет особой причины настаивать на этом - нет никакого вреда в том, чтобы представлять реальность состоящей из яблок, камней, облаков и чего угодно еще. Но представьте себе теперь такой аргумент, который нередко встречается: "Математические истины: придуманы ли они людьми или существуют независимо от нас? Было ли 2+2=4 верным до того, как появились люди и изобрели это равенство? Я думаю, что задолго до существования людей, на безжизненной Земле миллирады лет назад, когда два камня выкатились на пляж, на котором уже лежало три камня, всего на пляже оказалось пять камней". Что происходит в этой истории, если подробней присмотреться? Ну во-первых, тут есть использование пространственного совмещения, о котором я писал выше: нам проще представить два камня, вкатывающихся на пляж, чем складывать в уме три камня и еще два из другого места. Но оставим это, еще до самой операции сложения, присмотритесь к этим трем камням, которые лежат на пляже. Что это за объекты? Какие мы вообще имеем основания сказать, что на пляже лежит "камень"? Там есть какая-то куча атомов разных видов, и рядом с ними еще много других атомов (воздух, песок итд.) с несколько другими плотностями и другим поведением, но между всеми этими атомами нет никакой определенной границы. На атомном уровне есть постоянный обмен атомами между всеми этими местами. Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу - например, выбрав определенную градацию шкалы и сгладив все, что ниже ее. В нашем восприятии окружающего мира за нас эту работу выполняют наши грубые чувства; но в этой гипотетической картинке Земли далекого прошлого нет ни нас, ни наших чувств. Реальность не знает никаких "камней" и не интересуется ими - в ней есть только атомы.
С другой стороны, это не означает, на мой взгляд, что существование трех камней на этом пляже - в некотором виде "субъективное" утверждение. Представьте себе, что на пляже везде существуют гипотетические инопланетные наноботы, которые записывают во всех подробностях движения всех атомов и сохраняют этот гигантские массив данных где-нибудь; потом, спустя миллиард лет, вы находите этот архив, расшифровываете его, реконструируете ситуацию - конечно же, тогда вам будет очевидно, что на пляже находилось три камня. То, что на пляже лежат три камня - объективный факт природы; но смысл этого утверждения зависит от конкретной процедуры дискретизации, процедуры выделения и определения отдельных объектов; и реальность за вас эту работу не выполнит. Вы выполняете эту работу своими мозгами. Вот почему счет - и сложение - являются именно что ментальными операциями, которые мы выполняем в уме над ментальными конструкциями; операциями на карте, а не на территории.
Все вышесказанное не означает, что математика "выдумана", а не "открыта"; мой анализ оставляет место как для платонизма, так и для формализма, на мой взгляд. Просто пример пяти камней на пляже до появления человечества не помогает разрешить этот вопрос: без дискретизации "по-человечески" нет смысла у утверждения о том, что там было пять камней, а не просто куча атомов. Все равно может быть верным - и я лично считаю верным - что законы, определяющие поведение дискретных объектов, хоть они обычно и являются ментальными объектами, универсальны, и что 2+2 равно 4 и до того, как появились люди, и у всех возможных инопланетян.
(Наконец, надо отметить, что реальность может оказаться дискретной на микро-уровне - пространство-время может оказаться дискретным, мы вполне можем говорить об отдельных фотонах итд. Но все это не имеет отношения к уровню восприятия наших чувств - уровню яблок, камней, облаков итд.)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2012-11-11 07:31 pm (UTC)Атомы, на мой взгляд, не более и не менее "реальны", чем камни - и то, и другое, и суперструны заодно - это абстракции, к которым нам приходится прибегать в силу особенностей наших органов чувств и мышления, чтобы описать некую реальность, которая существует, но не является набором шариков или колеблющихся струн. Чем она является - вопрос открытый и для физиков. Мне как дилетанту она представляется неким континуумом, более или менее плотными флуктуациями физического вакуума, и я понимаю слова Анатолия именно в смысле непрерывности и гладкости этих флуктуаций. Хотя это опять несовершенная попытка описать микромир или Вселенную человеческими аналогиями.
no subject
Date: 2012-11-11 07:43 pm (UTC)Ну поздравляю, Вы в очередной раз нашли "элементарные" частицы - нечто, что Вам кажется конечной ступенью материи. Если Вам повезёт, так будут считать ещё 50-100-200 лет. А потом всё-таки откроют следующий уровень.
В принципе, эти два философских варианта - или солипсизм, или конечность материи - вытекют из статьи Аввы.
А вот у меня совсем нет желания ходить по древним-древним граблям: "атом" считали неделимым ещё греки, "элементарные частицы" считали "элементарными" физики первой половины XX века - разумеется, ошибочно.
Я лучше соглашусь с Сеито Сакатой, который сказал: "нейтрино так же неисчерпаем, как и атом".
no subject
Date: 2012-11-11 08:10 pm (UTC)На мой взгляд, утверждение, что никакой объективной границы между «есть» и «нету» не существует (пусть бы даже к этому и нашлись какие-то более глубокие предпосылки, чем наши с вами ля-ля) не дает ответа на вопрос «почему сложение субъективно» потому что тогда получается, что объективно нету вообще ничего, система лоигческих уравнений становится линейно зависимой, и любой разговор о существовании чего-либо вне человеческого сознания теряет смысл. Если вам так больше нравится — не смею возражаеть, но вы же, надеюсь, не затем со мной разговариваете, чтоб убедить меня заткнуться и не рассуждать о том, чего не может быть.
Речь-то о другом вообще. Определение сложения по автору этого блога включает в себя слова «группы, которую можно пересчитать». Но не дает ответа на вопрос «Вас из дас „пересчитать“»?
Секрет субъективности сложения не в физической картине мира, в которой с границами между яблоками и неяблоками все хорошо, — дело в том, что отображение множеств вещественных ли, иных материальных ли, воображаемых или любых других объектов на какое-то там множество каких-то там действительных чисел — процедура субъективная. Вот ее нету в реальности. Почему ... — это три точки, а .. — две, природа действительно ничего не знает.
no subject
Date: 2012-11-12 06:46 am (UTC)no subject
Date: 2012-11-12 07:33 am (UTC)Но само по себе это утверждение по-моему полнейшая ерунда.
Например. Уберите из математики концепт бесконечности (существование которого в объективной реальности крайне сомнительно, и нет никаких предпосылок считать, что другие формы разумности его введут) и вся концепция счета изменится до неузнаваемости. Собственно, ровно это мы и наблюдаем например при реализации арифметических действий в вычислительной технике.