о счете и сложении

[avva]

Я написал небольшую заметку по-английски о том, как я вижу некоторые аспекты философии математики и применение математики к физическому миру. Вот ее перевод на русский язык:

В дискуссиях на тему о том, что есть математическая истина и как она воплощается в физической реальности, я часто натыкаюсь на ошибочный (на мой взгляд) вид рассуждений, которые формулируют по-разному, но типичные примеры выглядят например так: "камни ведут себя изоморфно натуральным числам, а капли воды - нет: одна капля плюс еще одна капля равняется все еще одна капля", или "два яблока плюс два яблока равно четыре яблока, если только никто не украл тайком одно из них", и так далее. Я попытаюсь объяснить, почему такие рассуждения мне кажутся ошибочными, в чем состоит ошибка и как правильнее смотреть на то, что происходит.

Не одна, а две разные ошибки сочетаются вместе и создают общее состояние путаницы. Я рассмотрю их в отдельности; на мой взгляд они независимы друг от друга и мои аргументы в случае каждой из них можно рассматривать отдельно.

1. Первая ошибка состоит в том, что путают счет и пространственное сближение. Эти две операции мы обычно проводим в уме совместно, потому что так мы учились считать - наблюдая наборы вещей, стоящих рядом - но вовсе необязательно их совмещать. Когда мы говорим "возьми два яблока, добавь еще два яблока, посчитай - теперь у тебя четыре яблока", мы автоматически представляем в уме, как два дополнительных яблока становятся рядом с двумя первоначальными - но это всего лишь удобная уловка, без которой можно легко обойтись. Я сейчас покажу, как. Представьте, что я попросил вас посчитать вместе двух овец в Англии и еще двух в Австралии. Вы представляете в уме английских овец и считаете: один, два. Теперь воздержитесь от соблазна телепортировать австралийских овец и поставить их рядом с английскими; вместо этого слетайте в уме за мгновение в Австралию и посмотрите на австралийское поле - вон они там стоят, три, четыре. Вот вы и посчитали 2+2 овцы, не совмещая их вместе в пространстве, ни в реальной жизни, ни в уме. Это совершенно нормальный способ счета, которым в отдельных ситуациях мы пользуемся все время - скажем, если кто-то попросит вас посчитать, сколько стульев стоит в большой и заполненной мебелью комнате, вы не будете совмещать все эти стулья перед собой в уме, вы просто окинете взглядом комнату и пересчитаете их по одному.

А теперь давайте посмотрим на то, какое отношение это имеет к счету таких объектов, как капли воды или облака. Скажем, кто-то говорит вам: "да, яблоки соблюдают законы арифметики, но одна капля воды плюс еще одна капля воды вместе равны одной капле воды побольше, а не двум". Из вышесказанного должно быть ясно, что ваш собеседник путает совмещение в пространстве с сложением/счетом. Сложение двух яблок и еще двух яблок - это не операция по пространственному их сближению, это умственный акт представления их в качестве одной целой группы, которую можно пересчитать. Просто пространственное сближение в вашем воображении (или на столе) - самый простой способ выполнить такое представление. Но когда речь идет о каплях воды или облаках, пространственная операция начинает мешать, а не помогать - так просто откажитесь от нее. Капля воды плюс капля воды? Несомненно, две капли воды: может, они лежат рядом друг с другом, а может, вообще в разных океанах. Никто не заставляет вас соединять их друг с другом - нет ничего в операции "+", что бы это вам диктовало.

2. Вторая ошибка является примером путаницы между картой и территорией; а именно, мы наивно приписываем территории возможность держать в себе для нашего использования дискретные объекты. Может быть полезным продумать как следует и запомнить, что по крайней мере на нашей макро-шкале восприятия реальности, на шкале, которую дают нам наши чувства, отдельные, дискретные объекты существуют на карте, а не на территории: у нас в уме, а не в реальности. В реальности есть много разных атомов повсюду, и нет "естественного" способа разделить их на объекты в том виде, в каком мы их воспринимаем. (я несколько упрощаю, говоря об атомах - можно спуститься пониже и говорить об элементарных частицах, квантово-механических суперпозициях итд., но это несущественно тут).

Обычно нет особой причины настаивать на этом - нет никакого вреда в том, чтобы представлять реальность состоящей из яблок, камней, облаков и чего угодно еще. Но представьте себе теперь такой аргумент, который нередко встречается: "Математические истины: придуманы ли они людьми или существуют независимо от нас? Было ли 2+2=4 верным до того, как появились люди и изобрели это равенство? Я думаю, что задолго до существования людей, на безжизненной Земле миллирады лет назад, когда два камня выкатились на пляж, на котором уже лежало три камня, всего на пляже оказалось пять камней". Что происходит в этой истории, если подробней присмотреться? Ну во-первых, тут есть использование пространственного совмещения, о котором я писал выше: нам проще представить два камня, вкатывающихся на пляж, чем складывать в уме три камня и еще два из другого места. Но оставим это, еще до самой операции сложения, присмотритесь к этим трем камням, которые лежат на пляже. Что это за объекты? Какие мы вообще имеем основания сказать, что на пляже лежит "камень"? Там есть какая-то куча атомов разных видов, и рядом с ними еще много других атомов (воздух, песок итд.) с несколько другими плотностями и другим поведением, но между всеми этими атомами нет никакой определенной границы. На атомном уровне есть постоянный обмен атомами между всеми этими местами. Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу - например, выбрав определенную градацию шкалы и сгладив все, что ниже ее. В нашем восприятии окружающего мира за нас эту работу выполняют наши грубые чувства; но в этой гипотетической картинке Земли далекого прошлого нет ни нас, ни наших чувств. Реальность не знает никаких "камней" и не интересуется ими - в ней есть только атомы.

С другой стороны, это не означает, на мой взгляд, что существование трех камней на этом пляже - в некотором виде "субъективное" утверждение. Представьте себе, что на пляже везде существуют гипотетические инопланетные наноботы, которые записывают во всех подробностях движения всех атомов и сохраняют этот гигантские массив данных где-нибудь; потом, спустя миллиард лет, вы находите этот архив, расшифровываете его, реконструируете ситуацию - конечно же, тогда вам будет очевидно, что на пляже находилось три камня. То, что на пляже лежат три камня - объективный факт природы; но смысл этого утверждения зависит от конкретной процедуры дискретизации, процедуры выделения и определения отдельных объектов; и реальность за вас эту работу не выполнит. Вы выполняете эту работу своими мозгами. Вот почему счет - и сложение - являются именно что ментальными операциями, которые мы выполняем в уме над ментальными конструкциями; операциями на карте, а не на территории.

Все вышесказанное не означает, что математика "выдумана", а не "открыта"; мой анализ оставляет место как для платонизма, так и для формализма, на мой взгляд. Просто пример пяти камней на пляже до появления человечества не помогает разрешить этот вопрос: без дискретизации "по-человечески" нет смысла у утверждения о том, что там было пять камней, а не просто куча атомов. Все равно может быть верным - и я лично считаю верным - что законы, определяющие поведение дискретных объектов, хоть они обычно и являются ментальными объектами, универсальны, и что 2+2 равно 4 и до того, как появились люди, и у всех возможных инопланетян.

(Наконец, надо отметить, что реальность может оказаться дискретной на микро-уровне - пространство-время может оказаться дискретным, мы вполне можем говорить об отдельных фотонах итд. Но все это не имеет отношения к уровню восприятия наших чувств - уровню яблок, камней, облаков итд.)

Comments

[ilia-yasny.livejournal.com]

Анатолий, спасибо, очень понравилось рассуждение о произвольности границ между объектами, я сам часто об этом думаю.

Сегодня у меня с дядей вышел разговор о субъективности разделения вещей на естественное и искусственное (он возник вследствие попытки определить понятие "природы"). Дядя пытался меня убедить, что искусственное можно определить как объективную категорию, характеризующую те объекты человеческой деятельности, которые возникают в результате рефлексии. Я как-то привык придерживаться более радикальной точки зрения, что "искусственное" - это фикция, и любые порождения человеческой деятельности столь же естественны, как термитник или бобровая плотина. В этом случае город, скажем - это тоже природа, и человек не может "стремиться к гармонии с природой", потому что и так в ней находится.

С другой стороны, сейчас я подумал - а какова, собственно цель всех этих размышлений?
Что думаете вы?

[winpooh.livejournal.com]

В процессе разговора с дядей у Вас не возникло затруднений в разграничении физических тел - где Вы, а где он?

[certus.livejournal.com]

Мне кажется любопытным, что обе упомянутых ошибки на деле оказываются имеющими прямое отношение к основам таких областей математики, как теория меры и теория моделей (второе неудивительно — теория моделей и занимается вопросом о связи формального языка и его интерпретации).

[shultz-flory.livejournal.com]

Вопрос об онтологическом статусе универсалий является, имхо, основным вопросом философии науки. А вовсе не о "первичности материи".

[avva.livejournal.com]

Не понял, к чему это - кажется, я ничто не возводил на пьедестал основого вопроса философии науки. Моя собственная точка зрения состоит в том, что главное в философии науки - эпистемологические проблемы, а статус универсалий доведен десятилетиями упорного труда практически до состояния вопроса об ангелах на игле. Лет 10 назад я попытался прослушать университетский курс об универсалиях и прочитать прилагающийся к нему учебник, и меня этот опыт не порадовал.

[inkogniton.livejournal.com]

Хорошая заметка:) У Арнольда в книге было описано забавное: он сетовал на систему обучения математики во Франции, говорил, что они формалисты. Приводил в пример ребёнка, которого он спросил сколько будет два плюс три. Ребёнок сказал, что ответа он не знает, но из комутативности сложения, это будет равно тому, сколько будет три плюс два:)

[winpooh.livejournal.com]

Да ладно, это просто говорит о том, что у французских детей всё в порядке с чувством юмора.

[onemorepash.livejournal.com]

Ну, про невозможность складывать камни за отсутствием таковых в реальности — это уж какой-то совсем экстремальный бурбакизм.

Во-первых потому что, ок, камней, допустим, может и не быть, но кварки, бозоны или кто там нынче самый маленький (вообще говоря, материя существует не только в виде вещества) — они-то есть. Да даже и молекуле, не то что атому, можно дать вполне объективное определение, не прибегая к человеческому воображению. И если даже не все, то по меньшей мере некоторые из упомятнутых объектов являются дискретными по своей сути, а не благодяря нашим грубым чувствам, и потому к ним их количествам можно применять операцию сложения вполне объективно.

Во-вторых, да даже и про границу между камнями и некамнями — это ну очень большая натяжка. Хотя бы потому что камень на пляже — это область пространства с большей плотностью. Было три области, стало пять.

Короче, дело не в объективной дискретности, которой в реальности как раз сколько угодно, а в том, что и количество, и длина с площадью, и все другие меры — субъективны. Вот их-то не существуюет без человека.

[ilia-yasny.livejournal.com]

кварки, бозоны [...] они-то есть

Да что вы такое говорите! Вы их своими глазами видели? Что вообще означает "есть" для квантового "объекта"?
Само понятие объекта - это огрубление наших органов чувств, которые заточены под очень узкий диапазон размеров и временных рамок.

[http://users.livejournal.com/_iga/]

> Реальность не знает никаких "камней" и не интересуется ими - в ней есть только атомы.

Если развивать этот подход, то в реальности нет и атомов - есть только элементарные частицы и кварки. Но и их тоже на самом деле нет - есть суперструны, или преоны или какие-то петли гравитации. И т.д. То есть этот подход приводит к солипсизму: "в реальности ничего нет".

> процедуры выделения и определения отдельных объектов; и реальность за вас эту работу не выполнит. Вы выполняете эту работу своими мозгами.

Некоторые крабы (http://www.priruchi.ru/products/mramornyj_krab) прячутся под камнями. Крабы - часть реальности. Чем Вам не процедура выделения объектов? Причём без человеческих мозгов.

[ilia-yasny.livejournal.com]

Уверен, что Анатолий не имел в виду, что камней нет, а атомы есть.
Атомы, на мой взгляд, не более и не менее "реальны", чем камни - и то, и другое, и суперструны заодно - это абстракции, к которым нам приходится прибегать в силу особенностей наших органов чувств и мышления, чтобы описать некую реальность, которая существует, но не является набором шариков или колеблющихся струн. Чем она является - вопрос открытый и для физиков. Мне как дилетанту она представляется неким континуумом, более или менее плотными флуктуациями физического вакуума, и я понимаю слова Анатолия именно в смысле непрерывности и гладкости этих флуктуаций. Хотя это опять несовершенная попытка описать микромир или Вселенную человеческими аналогиями.

[ibsorath.livejournal.com]

Если не трудно, поясните вот этот момент про карту и территорию на примере атомов и камней, пожалуйста.

Вы говорите, что атомы - это территория, а камни - карта, так? Я пока не понимаю, как оно так. Вижу эту ситуацию скорее наоборот.

Камни - это объекты непосредственного восприятия. Ну или того, которое близко к непосредственному. Они воспринимаются чувствами - мы их видим, щупаем, и т.п.

А вот атомы-кварки и так далее - это ведь не элементы непосредственно воспринимаемого мира чувственных данных. Это элементы физической картины мира. То есть скорее выходит так, что атомы - это части физической карты для мира, так?

[avva.livejournal.com]

Моя позиция: территория - это физическая реальность, окружающий нас мир. Карта - все модели окружающего мира, которые мы строим в уме и которыми делимся друг с другом.

Про территорию говорить конкретно очень трудно, потому что мир дан нам только в ощущениях, а они неизбежно воспринимаются нами сквозь призму уже построенных нами карт. Чаще всего можно это обстоятельство игнорировать и просто говорить о вещах в мире, как будто они там существуют. Но иногда приходится прояснять.

Атомы можно считать сокращенным способом говорить о территории; на самом деле атомы - тоже карта, только намного более глубокая и близкая в приближении к реальности, чем "камни"; подробнее см. этот комментарий.

Камни являются объектом карты, а не территории, и то, почему это так, я пытаюсь объяснить в своей записи. Камни не суть объект чувственного восприятия - они суть ментальные модели, которые мы построили в результате множества чувственных восприятий; эти модели обобщают данные чувственных восприятий со свойственными им согласно нашей физиологии точностью и искажениями.

[a-bugaev.livejournal.com]

Спасибо, очень доходчиво. Единственно что я бы поставил под сомнение незыблемость тезиса, что в реальности существуют атомы (атомы, а не камни). Атомы существуют чуть более "в реальности", но рассуждение, аналогичное Вашему, вполне может быть проведено и по отношению к атомам.

Тут, конечно, возникает опасность не то чтобы впасть в солипсизм, но опасность создать у читателей иллюзию такого впадения. Чтобы пояснить свой подход, сошлюсь на свои рассуждения о существовании (http://a-bugaev.livejournal.com/734538.html), которые я выкладывал пару лет назад.

P.S. Разрешите также порекомендовать два глубоких текста, посвящённых проблематике соотношения научных моделей и реальности.
М.А.Розов. О природе идеальных объектов науки (http://philosophy.ru/iphras/library/phnauk4/ROZ.htm)
Григорий Хасин. Цемент вселенной (http://elenakosilova.narod.ru/studia4/Causality.htm)

[avva.livejournal.com]

Да, я согласен с вашими словами об атомах, и подробнее написал об этом здесь. С моей точки зрения этого просто достаточно, чтобы продемонстрировать несостоятельность существования камней, а подробный разговор о том, из чего состоит или может состоять реальность, сильно усложнил бы аргумент.

Спасибо за рекомендации, обязательно посмотрю.

.

[Міхал Залескі (from livejournal.com)]

Интереснее всего сравнить обсуждение на английском с обсуждением на русском и разбором трактата Ямвлиха "Теологумены арифметики" А.Ф.Лосевым. Всё просто так.

Re: .

[sinm.livejournal.com]

А чтобы понять интерес сравнения, надо прочитать Теологумены от корки до корки? :)

одобрения коммент

[falcao.livejournal.com]

Мне хотя и понравилось в целом написанное здесь, и я в очередной раз отдаю должное стилю автора, который мне всегда "по душе" (если, конечно, речь не о политике :)), но одно из мест мне показалось "слабым" -- как и ряду других комментаторов.

Точка зрения, что камней может в каком-то смысле "не быть", а атомы "есть", для меня является странной. Потому что как раз второе намного проще поставить под сомнение. Ясно, что их можно "разъять" на что-то совсем "эфемерное", когда "материя исчезает". Такого рода рассуждения, кстати, не новы. Я имею в виду даже не то, о чём Ленин писал в начале XX века, а более "радикальные" концепции. Мне когда-то попадалась довольно "яркая" цитата из Карнапа на этот счёт, но я сейчас не смог её найти.

Мне кажется, здесь достаточно вот какой точки зрения. Рассуждать о мире мы ни при каких условиях не сможем, если его не "исказим". И это будет даже не "приближённая модель", а "искажённый образ" чего-то, состоящего из "вещей-в-себе", а потому принципиально нам недоступного. И вот такими "искажениями" являются все камни и прочее. Да, сам образ находится в пределах некого "сознания", но совершенно понятно, что это не оно создало ту основу, которая далее в нём нашла такое вот отражение.

Сейчас стало почему-то "модно" чуть ли не весь мир помещать в "мозг", а о самом "мозге" и о его "таинствах" чего только не услышишь. Мне кажется, это некая новая "религия": с таким "придыханием" раньше писали только о чём-то "божественном". И многие даже математику считают "продуктом сознания", имея в виду не "оболочку", а её содержание. Против таких воззрений можно и нужно возражать, и поэтому я с одобрением воспринимаю написанное Вами.

[http://users.livejournal.com/_glav_/]

>Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу - например, выбрав определенную градацию шкалы и сгладив все, что ниже ее. В нашем восприятии окружающего мира за нас эту работу выполняют наши грубые чувства

хороший пример для введения в квантовую механику :)

[aerffadf.livejournal.com]

А эволюция-то, эволюция – ментальный конструкт? Или объективный феномен? Если первое, то выходит, что она не более достоверна, чем креационизм.
И вообще, верность утверждения 1+1=2 необъективна, даже если речь не о камнях, а о фундаментальных частицах, поскольку зависит от того, что мы понимаем под 1, 2, + и =.

[bravchick.livejournal.com]

Все вышесказанное не означает, что математика "выдумана", а не "открыта"

Как я недавно узнал из дочкиного учебника по алгебре, ответ на этот вопрос наконец окончательно известен http://bravchick.livejournal.com/65099.html :)

[whiteferz.livejournal.com]

Пожалуй, соглашусь. Отмечу только, что другие виды тоже способны "изобретать числа", сороки, кажется, считают до 7, а волки - до 49. Т. е., найти третью плошку в пятом ряду для волка не проблема, если ему дали понять, что именно этого от него и хотят.

Другой вопрос, что числа, изобретенные разными видами или даже разными нациями, в значительной степени отличаются друг от друга, до тех пор, пока не появляется переводчик.

Для переводчика они выглядят в некотором смысле "одинаково", однако сиё не означает, что переводчик является окончательным авторитетом в математике и философии.

[justy-tylor.livejournal.com]

1. Даже не счёт и пространство, а правильная или ошибочная формализация. Что такое "плюс", какая степень подобия рассматриваемых объектов нас интересует, чем обуславливается их идентификация - количеством, формой, деятельностью или чем-то ещё, etc. Иначе "полтора землекопа".
2. Существует то, что мы можем идентифицировать в пространстве и/или времени выбраного реального мира. Три камня на пляже (возможная ситуация, со времён появления камней и пляжей), деятельность человека по распознаванию этих камней и подсчёту их количества (возможная ситуация, со времён появления человечества и навыков счёта у отдельных индивидов). Абстрактное число три или абстрактный камень это уже артефакты мышления, во времени и пространстве их нет, а в не-человеческом восприятии их функции могут обеспечиваться совершенно другим набором образов.

[isya.livejournal.com]

в пункте 1, мне кажется, вышел некоторый перелет в другую сторону. разница между счетом яблок и капель не только в пространственном совмещении, но и в том, что капли (умеренно) кумулятивны, а яблоки нет - поскольку яблоки мы концептуализируем как имеющие некоторую внутреннюю структуру, без которой яблоко яблоком уже не будет, а в каплях воды мы любую внутреннюю структуру "убираем", считая их однородными.

конечно, на вывод о том, что капли воды вполне можно считать натуральными числами, это никак не влияет - и, может быть, этого достаточно, чтобы разобраться с теми случаями путаницы, которые Вы имели в виду.

[muh2.livejournal.com]

Господи, какая, извиняюсь, фигня эта ваша философия.

Применяется то описание, которое удобнее в контексте. С мостовщиком говорим о камнях, если нужно - об атомах, если обсуждаем кварки - о кварках.

[http://users.livejournal.com/_winnie/]

Камни - это действительно сложно. Но тем не менее, можно написать формулу, которая будет выдавать кластеризацию пространства на камни. Но поскольку это сложно, лучше думать не о трёх камнях, а о трёх атомах водорода или похожие более легко формализуемые и отделимые понятия.

Можно ли пересчитать атомы ворода, если считать их некому?
И мы упираемся в точное определение слова "существует", или "можно", т.е. чисто терминологически-лингвистические проблемы.

Если вы написали уравнения на бумажке, описывающие прекрасный мир - то необходим ли компьютер-интерпретатор этих уравнений для существования этого мира, или же достаточно просто уравнений?

[keaper-v2.livejournal.com]

Из таких дискуссий в первую очередь следует гнать философов ссаными тряпками.

[xaxam.livejournal.com]

Как мне кажется, обсуждать нужно не столько правила счёта, сколько вообще понятие числа.

Идея, что некоторые предметы настолько однородны, что их можно считать - была первой интеллектуальной революцией. Для наших волосатых предков не было трёх мамонтов, - был большой самец, самка и детёныш. В крайнем случае, вчерашний мамонт и сегодняшний, даже если физически это было одно и то же существо.

Одинаковых камней почти не бывает, и одинаковые капли даже сегодня не так-то просто изготовить. Тем не менее когда-то все цивилизации совершили этот скачок: (множество объектов) = (типовой объект) х (нечто, одинаково пригодное и для яблок, и для слонов).

Интересно, что это "нечто ...", для простоты называемое числом, совершенно не всегда ассоциируется с величиной (и поделом). Скажем, маленькие дети про пять монеток, выложенных в ряд с бóльшим интервалом, говорят, что их больше, чем в ряду из пяти монеток, выложенных вплотную. А про "поделом" позволю себе напомнить анекдот про "тупого Мойше", который предпочитает монетку в пол-шекеля маленькому шекелю ;-)

Но в тот момент, когда разные объекты стали идентифицировать, уже нетрудно сообразить, что вместо того, чтобы считать слонов, достаточно считать единички, а из этого опыта умозаключать про всё остальное. Утверждение, что 1 1 11 = 1111 действительно приятно вывести из утверждения о том, что "пробелы/просветы не считаются"...

Можно "теоретически" (смайлик) себе представить другие виды арифметики с "экспериментально-психологическим обоснованием". Например, идея, что надо считать съеденные пирожки (или яблоки), естественно натыкается предел, после которого поедающий яблоки умирает от обжорства, а тот, кто повторяет его эксперимент, начинает с нуля. Так можно было бы прийти к аксиоматизации арифметики по конечному (и даже не слишком большому) модулю, однако ж этого ни с какой цивилизацией не произошло. Хотя в сказках можно встретить ситуации, когда у жадного человека после очередной просьбы "сгорает" всё ранее насчитанное имущество, и надо снова начинать с нуля разбитого корыта.

Ну, или можно себе вообразить культуру, в рамках которой сразу появились трансфиниты для обозначения богатства царя-вождя: простому питекантропу, сколько ни копи, никогда не стать таким олигархом и, наоборот, сколько бы олигарх не раздал бесплатных обедов, он всё равно богаче всех остальных "простых" людей.

[onemorepash.livejournal.com]

Рукопжт, если позволите, конечно.

С тем лишь замечанием, что аксиоматизация арифметики по конечному и даже не слишком большому модулю более чем с избытком имеет место в приборе, посредством которого мы тут все разговариваем.

[old-radist.livejournal.com]

>> Какие мы вообще имеем основания сказать, что на пляже лежит "камень"? Там есть какая-то куча атомов разных видов, и рядом с ними еще много других атомов (воздух, песок итд.) с несколько другими плотностями и другим поведением, но между всеми этими атомами нет никакой определенной границы. На атомном уровне есть постоянный обмен атомами между всеми этими местами. Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу

Процедура дискретизации камней (OMG!) обусловлена не умением игнорировать границы (OMG!), а наличием поверхностного сопротивления диффузии.

[sunch.livejournal.com]

Никто не заставляет вас соединять их друг с другом - нет ничего в операции "+", что бы это вам диктовало.

В операции "+" может и нет, а вот если это проговаривать словами: "к одной капле воды прибавьте другую каплю воды" - уже есть. Происходит достаточно распространенное перемешивание строгого термина и бытового, приводящее к путанице.

[arno1251.livejournal.com]

Анатолий, снимаю шляпу. Было очень интересно прочитать.

[a-bronx.livejournal.com]

А вот взять не числа и подсчёт камней, а и даже не элементарные частицы, а самые общие законы физики -- их ведь на нашей "карте" тоже счётное количество, но что на "территории"? Скажем, метрика пространства-времени -- почему она такая? Потому что территория такая?

Или же территория абсолютно симметрична и позволяет обнаружить на себе абсолютно любую метрику (и вообще любой закон физики), но мы выделяем только то, что по какой-то причине способны выделить? Тогда что за причина этого нарушения симметрии? Стабильность мира мирка, создаваемого этими законами? Нет ли тут некоего постоянного "эволюционного отбора" законов физики и математики (не научных теорий, описывающих законы, а самих действующих законов)?

[kanenko.livejournal.com]

Очевидные мысли на самом деле. Спасибо, что оформили в слова.

[whiteferz.livejournal.com]

=== и что 2+2 равно 4 и до того, как появились люди, и у всех возможных инопланетян ===

2+2 стало равно четыре только у индусов с арабами.