о счете и сложении

[avva]

Я написал небольшую заметку по-английски о том, как я вижу некоторые аспекты философии математики и применение математики к физическому миру. Вот ее перевод на русский язык:

В дискуссиях на тему о том, что есть математическая истина и как она воплощается в физической реальности, я часто натыкаюсь на ошибочный (на мой взгляд) вид рассуждений, которые формулируют по-разному, но типичные примеры выглядят например так: "камни ведут себя изоморфно натуральным числам, а капли воды - нет: одна капля плюс еще одна капля равняется все еще одна капля", или "два яблока плюс два яблока равно четыре яблока, если только никто не украл тайком одно из них", и так далее. Я попытаюсь объяснить, почему такие рассуждения мне кажутся ошибочными, в чем состоит ошибка и как правильнее смотреть на то, что происходит.

Не одна, а две разные ошибки сочетаются вместе и создают общее состояние путаницы. Я рассмотрю их в отдельности; на мой взгляд они независимы друг от друга и мои аргументы в случае каждой из них можно рассматривать отдельно.

1. Первая ошибка состоит в том, что путают счет и пространственное сближение. Эти две операции мы обычно проводим в уме совместно, потому что так мы учились считать - наблюдая наборы вещей, стоящих рядом - но вовсе необязательно их совмещать. Когда мы говорим "возьми два яблока, добавь еще два яблока, посчитай - теперь у тебя четыре яблока", мы автоматически представляем в уме, как два дополнительных яблока становятся рядом с двумя первоначальными - но это всего лишь удобная уловка, без которой можно легко обойтись. Я сейчас покажу, как. Представьте, что я попросил вас посчитать вместе двух овец в Англии и еще двух в Австралии. Вы представляете в уме английских овец и считаете: один, два. Теперь воздержитесь от соблазна телепортировать австралийских овец и поставить их рядом с английскими; вместо этого слетайте в уме за мгновение в Австралию и посмотрите на австралийское поле - вон они там стоят, три, четыре. Вот вы и посчитали 2+2 овцы, не совмещая их вместе в пространстве, ни в реальной жизни, ни в уме. Это совершенно нормальный способ счета, которым в отдельных ситуациях мы пользуемся все время - скажем, если кто-то попросит вас посчитать, сколько стульев стоит в большой и заполненной мебелью комнате, вы не будете совмещать все эти стулья перед собой в уме, вы просто окинете взглядом комнату и пересчитаете их по одному.

А теперь давайте посмотрим на то, какое отношение это имеет к счету таких объектов, как капли воды или облака. Скажем, кто-то говорит вам: "да, яблоки соблюдают законы арифметики, но одна капля воды плюс еще одна капля воды вместе равны одной капле воды побольше, а не двум". Из вышесказанного должно быть ясно, что ваш собеседник путает совмещение в пространстве с сложением/счетом. Сложение двух яблок и еще двух яблок - это не операция по пространственному их сближению, это умственный акт представления их в качестве одной целой группы, которую можно пересчитать. Просто пространственное сближение в вашем воображении (или на столе) - самый простой способ выполнить такое представление. Но когда речь идет о каплях воды или облаках, пространственная операция начинает мешать, а не помогать - так просто откажитесь от нее. Капля воды плюс капля воды? Несомненно, две капли воды: может, они лежат рядом друг с другом, а может, вообще в разных океанах. Никто не заставляет вас соединять их друг с другом - нет ничего в операции "+", что бы это вам диктовало.

2. Вторая ошибка является примером путаницы между картой и территорией; а именно, мы наивно приписываем территории возможность держать в себе для нашего использования дискретные объекты. Может быть полезным продумать как следует и запомнить, что по крайней мере на нашей макро-шкале восприятия реальности, на шкале, которую дают нам наши чувства, отдельные, дискретные объекты существуют на карте, а не на территории: у нас в уме, а не в реальности. В реальности есть много разных атомов повсюду, и нет "естественного" способа разделить их на объекты в том виде, в каком мы их воспринимаем. (я несколько упрощаю, говоря об атомах - можно спуститься пониже и говорить об элементарных частицах, квантово-механических суперпозициях итд., но это несущественно тут).

Обычно нет особой причины настаивать на этом - нет никакого вреда в том, чтобы представлять реальность состоящей из яблок, камней, облаков и чего угодно еще. Но представьте себе теперь такой аргумент, который нередко встречается: "Математические истины: придуманы ли они людьми или существуют независимо от нас? Было ли 2+2=4 верным до того, как появились люди и изобрели это равенство? Я думаю, что задолго до существования людей, на безжизненной Земле миллирады лет назад, когда два камня выкатились на пляж, на котором уже лежало три камня, всего на пляже оказалось пять камней". Что происходит в этой истории, если подробней присмотреться? Ну во-первых, тут есть использование пространственного совмещения, о котором я писал выше: нам проще представить два камня, вкатывающихся на пляж, чем складывать в уме три камня и еще два из другого места. Но оставим это, еще до самой операции сложения, присмотритесь к этим трем камням, которые лежат на пляже. Что это за объекты? Какие мы вообще имеем основания сказать, что на пляже лежит "камень"? Там есть какая-то куча атомов разных видов, и рядом с ними еще много других атомов (воздух, песок итд.) с несколько другими плотностями и другим поведением, но между всеми этими атомами нет никакой определенной границы. На атомном уровне есть постоянный обмен атомами между всеми этими местами. Для того, чтобы сказать "это дискретный объект камень", вам нужно как-то научиться игнорировать эту неизбежно размытую границу - например, выбрав определенную градацию шкалы и сгладив все, что ниже ее. В нашем восприятии окружающего мира за нас эту работу выполняют наши грубые чувства; но в этой гипотетической картинке Земли далекого прошлого нет ни нас, ни наших чувств. Реальность не знает никаких "камней" и не интересуется ими - в ней есть только атомы.

С другой стороны, это не означает, на мой взгляд, что существование трех камней на этом пляже - в некотором виде "субъективное" утверждение. Представьте себе, что на пляже везде существуют гипотетические инопланетные наноботы, которые записывают во всех подробностях движения всех атомов и сохраняют этот гигантские массив данных где-нибудь; потом, спустя миллиард лет, вы находите этот архив, расшифровываете его, реконструируете ситуацию - конечно же, тогда вам будет очевидно, что на пляже находилось три камня. То, что на пляже лежат три камня - объективный факт природы; но смысл этого утверждения зависит от конкретной процедуры дискретизации, процедуры выделения и определения отдельных объектов; и реальность за вас эту работу не выполнит. Вы выполняете эту работу своими мозгами. Вот почему счет - и сложение - являются именно что ментальными операциями, которые мы выполняем в уме над ментальными конструкциями; операциями на карте, а не на территории.

Все вышесказанное не означает, что математика "выдумана", а не "открыта"; мой анализ оставляет место как для платонизма, так и для формализма, на мой взгляд. Просто пример пяти камней на пляже до появления человечества не помогает разрешить этот вопрос: без дискретизации "по-человечески" нет смысла у утверждения о том, что там было пять камней, а не просто куча атомов. Все равно может быть верным - и я лично считаю верным - что законы, определяющие поведение дискретных объектов, хоть они обычно и являются ментальными объектами, универсальны, и что 2+2 равно 4 и до того, как появились люди, и у всех возможных инопланетян.

(Наконец, надо отметить, что реальность может оказаться дискретной на микро-уровне - пространство-время может оказаться дискретным, мы вполне можем говорить об отдельных фотонах итд. Но все это не имеет отношения к уровню восприятия наших чувств - уровню яблок, камней, облаков итд.)

Comments

[vladwed.livejournal.com]

---
Не понял, каким образом, в каком именно смысле можно считать, что цвет объектов "существует независимо" от света, если этот самый цвет, по Вашим же словам, "произойдёт" только если свет зажечь?
---

Физически цвет - это свойство поверхности объекта отражать падающий на него свет. И это свойство не зависит от того, падает свет в данный момент или нет. Именно в этом смысле цвет объекта существует независимо от того, падает ли на него свет в данный момент или нет.

Цвет - это не только наше ощущение цвета, которое субъективно, но это еще и просто длина волны, которая от нашего восприятия не зависит.

Именно по такой же аналогии и идет речь о некоторой объективной реальности, которая существует вне зависимости от наблюдателя и, соответственно, его субъективных конструкций описания реальности и органов чувств, через которые он эту реальность ощущает. Эта реальность инварианта относительно наблюдателя.

Никакой особой путаницы нет, как мне кажется.

[ibsorath.livejournal.com]

Физически цвет - это свойство поверхности объекта отражать падающий на него свет. И это свойство не зависит от того, падает свет в данный момент или нет.

Как "не зависит"-то, если свет должен быть падающим? Вот смотрите - свет на поверхность не падает. Вы говорите, что у этой поверхности есть свойство отражать падающий свет. В каком смысле оно "есть"? В потенции, как это говорится? Но это "есть" в другом смысле, чем когда свет падает, и мы видим цвет объекта. Потенциальное "есть" - это совсем другое "есть", чем актуальное, на эту тему куча анекдотов сочинена, если не ошибаюсь.

Цвет - это не только наше ощущение цвета, которое субъективно, но это еще и просто длина волны, которая от нашего восприятия не зависит.


Это почти как сказать "коса - это не только способ плетения волос, это ещё и инструмент сельхозработ". Почти - потому что между показаниями физ. приборов и прочими способами определения "длины волны" и субъекивным переживанием всё ж таки часто есть корреляция.

Однако вот когда вы сны цветные видите, что там за длина волны, где там свет?

И вот опять - "длина волны от нашего восприятия не зависит". Я просто не очень понимаю, что это значит. От нашего произвола не зависит - это очень даже понятно. Но что значит "не зависит от восприятия"? Вообще это одна из причин всех этих путаниц - рассуждения про "зависимость от восприятия". Если мне гвоздь в колено вбить, то мои переживания тоже не особо будут от моего произвола зависеть. Только где ж они существуют, как не в моём восприятии?

Вот и длина волны. Я взял прибор, провёл опыт, приписал некое численное знчение, как-то с ним оперирую. Вы хотите сказать, что это численное значение - длина волны - существует вне восприятия? Но что это значит вообще? Как это?

Уже тут какое-то непонимание возникает, если честно. А ведь ещё аналогия. Смотрите. Длина волны - это результат физических измерений, записанный в числовой форме, ну и так далее. Это, что ли, объективная реальность? Так как же она "не зависит от нашего знания о ней", если она - длина волны - есть результат проделанных нами хитро организованных наблюдений???

[vladwed.livejournal.com]

Мне кажется, что все Ваши "парадоксы" вызваны тем, что мы при любом обсуждении или мышлении не можем полностью абстрагироваться от наших чисто субъективных конструкций и построений. Мы используем в данный момент для общения слова, которые уже сами по себе являются искусственными конструкциями.

Я лично не вижу никакого противоречия в том, что, обсуждая длину волны падающего света, мы подразумеваем под словами "длина волны" некоторое численное значение, которые было измерено. Но в данном случае я говорю не о файле "длина волны" в нашем сознании, а о длине волны как о физической характеристике, независимой от наблюдателя, названной для категоризации словосочетанием "длина волны". При этом в этой характеристике, естественно, уже не будет присутствовать ни из меренного численного значения этой длины волны, ни цвета, каким мы его ощущаем. Грубо говоря, это равносильно свойству зеркальной поверхности отражать падающий свет под тем же углом, под которым он на него падает. Так будет происходит независимо от наших знаний об этом факте или от наличия или отсутствия наблюдателя.

Но если Вы считаете, что "Луна, когда на нее никто не смотрит, не существует", то это прямой путь к упоминаемому неоднократно тут солипсизму, который плох тем, что автоматически завершает какого-либо обсуждение в принципе.

[ibsorath.livejournal.com]

Погодите, не так быстро))

Во-первых, я не вижу никаких парадоксов или даже "парадоксов". Я просто никак не могу понять, что имеют в виду мои собеседники - вот Вы, например. Я не отрицаю, что вы что-то имеете в виду, просто никак не могу уловить, что именно.

Вот например. Вы говорите о длине волны как о физической характеристике, независимой от наблюдателя, названной для категоризации словосочетанием "длина волны". Я в данном случае просто не понимаю, что именно Вы имеете в виду. Если там, в этой характеристике, нет ни численного знчения, ни чувственного образа, то что же там есть? Как Вы, Ваше сознание, сипользуете эту характеристику, как вы ею оперируете? Что она для Вас представляет, если это не чувственный образ и не абстрактная ментальная конструкция?

Дальнейшее пояснение скорее только запутывает - меня, по крайней мере. Я понимаю фразу "угол падения равен углу отражения" в том смысле, что если мы возьмём, измерим угол падения, и угол отражения, то значения будут с большой точностью совпадать. Это вполне понятно. Но какие значения будут совпадать, если не было никаких измерений?

Вот Вы говорите - "так будет происходить вне зависимости от...". А в чём это будет проявляться-то, - ну, то, что "так будет происходить"? Чем "так происходит" отличается от "так не происходит", если не результатами наших наблюдений???

И наконец, про Луну. Боюсь, Вы не поняли всю глубину моего затруднения. Я вовсе не считаю, что Луна не существует, когда её никто не видит. Я просто не всегда понимаю, что имеется в виду под существованием Луны, когда её никто не видит. Очень часто я понимаю, что тут имеется в виду - но вот в таких разговорах мы ступаем на весьма странную почву, где, похоже, начинается много словесной путаницы.

Например, я могу иметь в виду, что у меня остаётся мысленное представление о Луне, её движении, её свойствах, даже если я на неё не смотрю. То есть она, хоть и не существует в моём восприятии, всё же существует как элемент привычной мне картины мира, и всё такое прочее. Вы это имеете в виду?

[vladwed.livejournal.com]

Я, если честно, не совсем понимаю Ваше непонимание. Т.е. я понимаю его по сути, но не понимаю, почему Вы склонны настолько сильно привязывать к объекту еще и субъект, считая реальностью только эту связку, но не объект в отдельности.

Т.к. мы говорим изначально "изнутри" субъекта восприятия, то, естественно, что без нас, задающих этот вопрос о природе реальности, не будет и самого вопроса о реальности. Но, как я уже говорил, этот факт подразумевается изначально.

Углы падения света будут равны и без нашего их измерения, т.е. вообще без факта наблюдения. Но если говорить не о об углах падения и отражения, а об "углах падения и отражения", то, естественно, каждое слово в этой фразе несет в себе ментальную конструкцию, которая без нас, ее использующих, существовать не будет.

Без наблюдателя не будет существовать "Луна". А вот Луна вполне обойдется в своем существовании и без наблюдателя.

Ну по крайней мере таково мое мнение по этому вопросу. :)

Картину мира и модель мира внутри нашего сознания я не затрагивал вообще, это немного другая тема. :)

[ibsorath.livejournal.com]

Если изначально подразумевается, что мы говорим "изнутри" субъекта, то в чём разница между углами и "углами"?

По крайней мере, я понимаю, что такое "угол" как элемент моего опыта или моих мыслей. Я могу его измерить, увидеть, и т.д. А вот что такое угол сам по себе, я не очень понимаю. Его в моём опыте не было никогда - потому что он сам по себе. И в Вашем опыте не было. И вообще ни в чьём. Как же Вы тогда о нём рассуждаете? Не путаете ли с "углом", с представляемой Вами картинкой, как где-то в запертой комнате свет падает на поверхность, отражается под тем же углом, а вы как-бы мысленно со стороны за этим смотрите? Вот мне кажется этоу мысленную ситуацию Вы и называете "и без наблюдения углы будут равны" - они равны в Вашей мысленной реконструкции. Вы непосредственное наблюдение/восприятие заменили мысленным эспериментом, и вроде как оно "вне восприятия, то есть само по себе" теперь. Да нет, не само по себе, а в Вашей мысленной реконструкции.

Но, быть может, Вы говорите о "существовании Луны" вообще вне представлений, мыслей и восприятий. Я тогда решительно не понимаю, о чём речь - потому что сё, мне хоть как-то известное, это то, что я воспринимал, или то, про что думал, или то, что воображал. Иных способов понимания у меня, похоже, нету.

[vladwed.livejournal.com]

Разница в том, что это разные семантические уровни.

Так в этом и заключается довольно удивительное свойство нашего разума - рассуждать о том, что непосредственно в нашем чувственном опыте отсутствует. Для этого мы используем разные уровни абстракций.

Ваши рассуждения аналогичны тому, что признавая существование карты и, более того, признавая ее работоспособность по описанию местности, Вы отрицаете, вернее говорите, что не понимаете, что такое существование самой местности. В данном случае местность это то, что описывает карта и то, благодаря чему, разные карты одной и тоже местности более или менее эквивалентны и универсальны. Да, мы не можем в принципе непосредственно наблюдать саму местность, но по подобным свойствам карты, вполне можно говорить о существовании местности, которая которая карта описывает. Не согласны? :)

[ibsorath.livejournal.com]

Мы можем оперировать только
а) тем что есть в чувственном опыте
б) воображаемым опытом
в) абстрактными конструкциями ума.

Если некое слово не отсылает ни к а), ни к б), ни к в), то оно, выходит, ни на что, доступное уму, не указывает. Сдаётся мне, что "объективная реальность" это как раз тот случай. Не всегда, но иногда.

Я прекрасно понимаю, что такое местность. Местность - это мир непосредственного опыта. Дословесного опыта. Дальше начинается абстрагирование, выделение всяких элементов, наименование, классификация и прочие умственные упражнения.

Вообще-то так и я, и Вы когда-то осваивали язык и начинали собственный путь познания. Уровень непосредственного дословесного опыта - это базовый уровень, доступный сознанию. Ну сами подумайте, куда глубже-то копать? Если убрать слова, останется непосредственное переживание.

Так что я-то вполне представляю, арту чего именно мы рисуем. А вот те, кто толкуют о некой мистической "существующей, но недоступной непосредственному восприятию реальности" - и при этом чуть ли не более "существующей", чем все прочие абстракции! - похоже, где-то путают себя.

Видимо, слишком уж силён страх перед пугалом солипсизма))

[ibsorath.livejournal.com]

И вот ещё: для того, чтобы немного облегчить взаимопонимание и выбраться из семантических дебрей, имеет смысл постоянно вспоминать, что именно обознчается словом "существование". В каждом конкретном случае, что имеется в виду, когда говорится "А существует". Достаточно задать этот вопрос применительно к разным А, и подумать, как мы употребляем слово "существовать", чтобы некое подобие ясности стало потихоньку охватывать ум))

Дело в том, что слово "существовать" крайне многозначное, и если выпустить это из внимания, легко угодить в учу причудливых ситуаций. История философии полна таких примеров.

[vladwed.livejournal.com]

В любом случае, как мне кажется, мы достаточно хорошо понимаем то, что оба имеем в виду, и наш диалог это даже не дискуссия, а скорее некоторое семантическое жонглирование, приятное, но довольно бессмысленное. :)

Тем более, что обсуждая любую тему вглубь, мы все равно рано или поздно придем к терминам и их значениям. Поэтому сейчас мы пришли к тому, что вообще означает слово "существовать".

Пойду почитаю Платона перед сном... :)

[ibsorath.livejournal.com]

только осторожно
платон, кажется, один из первых серьёзно поехал на этой теме)))

[vladwed.livejournal.com]

Насколько я знаю, Платон и Аристотель первыми глубоко исследовали вопрос бытия как философскую категорию. И для меня они интересны прежде всего этой темой. :)

...по пути к Платону мне не в добрый час попался под руку Хайдеггер, так что сны обещают быть еще более интересными. Спокойной ночи! :)))

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Есть явления, инвариантные относительно наблюдателя, которые удобно описывать на языке, исключающем наблюдателя из рассмотрения. Это и называется «объективно существует независимо от наблюдателя». Вопрос «останется ли длина волны, когда все люди умрут», не имеет смысла. Имеет смысл только вопрос, поймет ли житель тау Кита, буде таковой обнаружится, наши рассуждения о длине волны, а мы — его.

[ibsorath.livejournal.com]

Так понятно, да. В этом случае мы просто абстрагируемся от наблюдателя, и выходит, что "объективный уровень" - это более абстрактный уровень, то есть скорее "карта", чем "территория". Не возражаю.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Мы почему-то уверены, что карты работают, и что следующая карта будет лучше предыдущей. Угол падения равен углу отражения. Мы уверены, не измеряя никаких углов, что если их измерить, они будут равны, даже не зная, чему именно. Почему? Рабочая гипотеза: есть отдельная от карт территория, которой эти карты более или менее точно соответствуют. Но это необязательно; можно считать, что территория — это свойство карт работать.

[ibsorath.livejournal.com]

Между этими двумя подходами я вижу существенную разницу. Во втором случае понятно, о чём идёт речь. А в первом - не понятно (потому что непонятно, в каком ещё смысле, кроме того, что Вы предложили во втором варианте, может существовать отдельная от карт территория)

[huzhepidarasa.livejournal.com]

1. Все возможные наблюдатели (или их большие группы, ага) приходят к принципиально одинаковым картам.
2. У разных классов наблюдателей карты принципиально разные, несовместимые (но все работают).

Тот факт (пока гипотеза), что все работающие карты одинаковы, ― это свойство чего-то. Чего? Уж никак не карт.

[ibsorath.livejournal.com]

Погодите, а "принципиальная одинаковость" - это что такое? Изоморфизм? Так это свойство карт, вообще-то.

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Изоморфизм двух карт ― это свойство только этих двух карт, изоморфизм всех хороших карт вообще (предполагаемый) ― свойство (по-видимому) множества всех карт, которое не карта (это множество можно назвать территорией). Здесь есть трудность, конечно. Ваши карты существуют не сами по себе, а только как объекты на моих картах. Ну так и неудивительно, что они согласованы.

[ibsorath.livejournal.com]

А тут как раз всё понятно. Множество карт мы можем назвать "территорией", но это будет территория в несколько другом смысле, чем изначально.

Уровень "множества карт" - эток ак раз уровень ещё более абстрактный, чем уровень конкретной карты. Он от этого не становится чем-то плохим, конечно. Но и "истинной реальностью" он тоже не становится))

[huzhepidarasa.livejournal.com]

Почему в другом смысле (в каком именно), и почему не становится? Если не принимать во внимание трудность, о которой я говорил, множество всех карт неотличимо от реальности O:-)

[ibsorath.livejournal.com]

ну и кроме того: карты (словесные описания, научные модели) строятся для наблюдаемого мира - мира чувственных впечатлений. Никакой непонятной "ненаблюдаемой, но на самом деле существующей Объективной Реальности" тут не требуется.

[vladwed.livejournal.com]

Ну нет, карты делаются далеко не только для непосредственно наблюдаемой или ощущаемой местности. Чуть вниз к микромасштабам и там уже не будет ничего непосредственно наблюдаемого. Однако, карты строятся и для этих карт сохраняется свойство эквивалентности в описании местности.

[ibsorath.livejournal.com]

А это потому, что микромасштабы - это не непосредственная реальность, а тоже карта непосредственной реальности.

Ну вот сами подумайте, что мы называем "атомом"? Непосредственное наблюдаемое явление? Нет же. У него ни цвета, ни вкуса, ни запаха нет, у атома.

Атом - это элемент физической картины наблюдаемого мира, удобный - крайне удобный, чертовски удобный - способ говорить о мире.

Атом никто никогда не видел и не увидит. На экране электронного микроскопа мы видим не атом, а просто цветное пятно. И ИНТЕРПРЕТИРУЕМ его как "атом" - внутри соответствующей карты. Но это конечно не атом, а пятно на экране.

Так что атомом мы называем что угодно - элемент физической карты, согласованность показаний приборов, и т.п. - но уж никак не непосредственную реальность.

[ibsorath.livejournal.com]

Другое дело, что карты можно строить и для карт. Типа метакарты получатся. И дальше метаметакарты. И так сколько угодно. Теоретического предела у этой лестницы вверх нету. А вот дно - есть.