две простые задачки (математическое)

[avva]

Две простые задачки, которые можно решить в уме. Из книги Винклера, которую я купил на днях и наслаждаюсь. Первую я знал, она древняя и знаменитая, но вторая для меня новая, и я некоторое время помучился, пока не дошло.

1. Вдоль кругового маршрута в пустыне расположены заправочные станции. Бензина, который на них всех в сумме есть, как раз ровно хватает, чтобы объехать весь маршрут и вернуться в исходную точку. Бак у машины достаточно просторный, чтобы вместить бензин на весь маршрут, если нужно. Доказать, что есть такая станция, что машина с пустым баком может начать с нее и проехать весь маршрут.

2. Алиса и Боб играют в следующую игру. На столе выложены в ряд 50 монет, причем каждая из монет может быть любого достоинства. Алиса берет монету с одного из концов ряда, потом Боб берет опять с одного из концов, потом опять Алиса и так далее, пока монеты не закончились. Доказать, что Алиса всегда сможет набрать сумму, равную или больше той, что будет у Боба.

Update: учтите, что в комментариях есть уже верные ответы!

Comments

[michael.ul.myopenid.com (from livejournal.com)]

Вторая задача вообще простая. Нумеруем монетки и делим их на два множества, с чётными номерами и нечётными. Понятно, что сумма денег в них будет либо равна, либо в одном будет больше. Алиса первым ходом выбирает множество, из которого она будет брать монетки и всё.

http://www.google.com

[avva.livejournal.com]

Ага, все верно.

[ole-lukoe.livejournal.com]

извините, а не могли бы вы развернуть -- почему понятно? не могу придумать :(

[avva.livejournal.com]

Алиса считает сумму всех четных монет и сумму всех нечетных. Либо эти суммы равны, либо одна из них больше, например, четные. Алиса решает, например, "играю четными", и Боб не может ей помешать на каждом шагу выбирать именно четную монету. Она сначала берет 50-ю; если он берет 49-ю, она 48-ю, а если он 1-ю, то она 2-ю, и так далее. А если бы она захотела "играть нечетными", то начала бы с 1-й монеты. Так понятно?

[ole-lukoe.livejournal.com]

простите, ступила. конечно, она же сама определяет!
спасибо :)

[avva.livejournal.com]

не за что :)