две задачки

[avva]

Еще две задачки из книги Винклера. По-моему, очень красивые и несколько сложнее, чем в прошлый раз. Комменты скрывать не буду Буду скрывать правильные решения несколько часов, но не гарантирую.

1. Учитель сидит в классе, на его столе стоят весы с двумя чашами. На чашах находится какое-то количество грузов. На каждом грузе написано как минимум одно имя ученика (возможно, больше одного имени). На данный момент правая чаша весов перевешивает.

Снаружи у входа стоят ученики. Когда ученик заходит в класс, он берет все грузы на обеих чашах, на которых написано его имя, и переставляет каждый такой груз на противоположную чашу. Те, что были слева, переходят направо, те, что справа - налево. Следующий ученик делает то же самое с грузами со своим именем, и так далее.

Доказать: учитель может впустить в класс определенный набор учеников таким образом, что когда они все войдут, левая чаша будет перевешивать.


2. Алиса и Боб по очереди выбирают цифры от 1 до 9, без повторов (каждая цифра берется не больше одного раза). Выигрывает тот, кто первым соберет у себя три цифры, в сумме дающие 15. Алиса начинает. Есть ли у нее выигрышная стратегия?

Update: открываю все комментарии, в них есть правильные ответы, учтите.

Comments

[max-i-m.livejournal.com]

1) Буем считать что гири слева отрицательного веса а гири справа положительного. Для каждого набора учеников получится некоторый суммарный вес. Суммируя по всем наборам получим 0, поскольку для каждой гири количество наборов для которых она справа и слева одинаково. По условию для пустого набора суммарный вес положителен. Значит существует набор для которого суммарный вес отрицателен. QED.

Симпатично.

2) Я примерно месяц назад играл в эту игру в Манхэттенском музее математики! Кстати, очень симпатичный музей. http://momath.org/