числа на лбах

[avva]

Аня, Боря и Вася сидят за круглым столом. На лбу у каждого написано целое положительное число. Как водится, каждый из них видит числа остальных, но не знает, что написано у него самого. Известно также, что сумма двух написанных чисел равна третьему.

Они договорились играть так: по кругу каждый либо называет свое число, если уверен в ответе, либо говорит, что не знает. Как обычно в таких задачах, мы предполагаем, что у них идеальное логическое мышление.

Аня: "я не знаю свое число".
Боря: "я не знаю свое число".
Вася: "я не знаю свое число".
Аня: "у меня написано 25".

Какие числа написаны на лбах Бори и Васи? Если можете, докажите также единственность этого решения.

----
Я скрываю правильные ответы первые сутки, буду раскрывать только уточняющие вопросы итп. Я бы сказал, что это задача средней сложности. Найти решение в уме можно (но непросто), доказать единственность - не уверен.

Update: много правильных ответов! Первой правильно ответила sthinks, кроме того, правильные ответы у mudasobwa, object, e2pii1, type_o_graph, alexa_uk, butbka, gul_kiev, kray_zemli, emirr, ger04ka, utnapishti, ropher, gleb_a, hsft1mb0, sergeirash и huzhepidarasa на данный момент (18:00 по Москве). Где-то треть из этих также правильно мотивирует, почему это единственный ответ. Вы все молодцы :) Я дам шанс тем, кто сегодня прочитает задачу, еще решить самим, а ночью по Москве открою все комментарии.

Update: Еще правильные решения дали falcao, oblomov_jerusal, ztatyan, artem_sulzhenko, iordane, buddypis, mochalkina, zsd_rd, ext_2087110, veefore, alex_levit, neuraum, leonid_a, igmor, aerffadf, lazy_coconut, lnvp, assaron, aragaer и krolik_ya. Всем спасибо!

Раскрываю все комментарии. Если вы еще не решили и не хотите спойлеров, не заглядывайте в комментарии теперь.

Comments

[46bip.livejournal.com]

а им известно, что а + б = в?

[avva.livejournal.com]

Им известно, что сумма двух равна третьму, да (но необязательно а+б=в, может, а+в=б или б+в=а).

[topcoderer.livejournal.com]

А числа разные или некоторые могут совпадать?

[for-news.livejournal.com]

Боря - 24, Вася - 1 :)

[juic.livejournal.com]

Сумма каждых двух? Или есть такие два, для которых сумма равна третьему, но неизвестно, какие это числа?

[avva.livejournal.com]

Условие не накладывает никаких ограничений на то, чтобы числа были разные или одинаковые.

[avva.livejournal.com]

Да, из трех данных чисел одно - сумма двух остальных, но неизвестно, какое именно из трех сумма, а какие - слагаемые.

[avva.livejournal.com]

Нет.

[archaicos.livejournal.com]

Так что решать-то? Как каждому своё число найти? Или как из 25 вытащить два других числа?

[avva.livejournal.com]

Требуется найти и назвать конкретные числа. Например, "Боря - 24, Вася - 1. В этом случае последовательность ответов будет такой, как в условии, по таким-то причинам. (опционально:) Это единственное возможное решение по таким-то причинам."

24-1 неверное решение, это я для примера.

[sthinks.livejournal.com]

25, 10, 15

[object.livejournal.com]

25,75,50?

[46bip.livejournal.com]

боря и вася - 12 и 13.

Доказательство:
т.к. ни Б ни В не знают, что у них за число, значит А > 1. Таким образом, нам надо найти вариант, когда у нас Б и В отличаются друг от друга на 1, чтобы исключить вариант, когда А=1.

[avva.livejournal.com]

Нет.

[avva.livejournal.com]

Нет. Из предположения, что A=1, отнюдь не следует, что Б или В обязательно узнают свое число.

[object.livejournal.com]

Да, действительно. Тогда 25, 10, 15.

[sthinks.livejournal.com]

Я не обосновала... Подробно уже засыпаю (уж полночь близится). А в общих чертах:
- Очевидно, никто из них не видит двух одинаковых чисел.
= Ни у кого из них нет числа, которое бы равнялось удвоенному числу другого.
(В противном случае, с учетом п.1 ответ был бы дан в первом круге).
Значит,нет ситуации 1:2:3
- Аня дает ответ в начале второго круга, значит,
ситуация 2:3:5

[almagoz.livejournal.com]

Боря - 0, Вася - 25.
В противном случае Аня не сможет быть уверена в единственности варианта выполнения условия, что сумма двух чисел дает третье.
Боря не может сразу назвать решение, потому что у него 0.
Вася - потому что не хочет рушить отношения с Борей, которые только начали налаживаться после серьезной ссоры.
Анна не называет решение сразу потому что, во-первых, она женщина и в ней должна быть загадка, во-вторых - тогда игра сразу кончится.
А ей это не на руку, потому что именно она затеяла эту игру, поскольку небезразлична к Борису. Это, кстати, и было причиной их ссоры с Василием.
Как видите, всё сходится.

[mudasobwa.livejournal.com]

25 10 15

А., перед вторым ответом: если бы у меня было «5», Вася бы понял, что у него не «5» по тому, что Боря не заорал «10».

Вариант разрешимой двузначности у Васи возникает только тогда, когда два числа из трех равны (вычисление происходит «по модулю», из большего всегда отнимается меньшее, поэтому три разных числа никогда не создадут возможную определенность у Васи на первом круге). Поэтому второй вариант Анны должен совпадать со вторым вариантом Васи. Сиречь, второе число Алисы в сумме со вторым числом Васи дают число Бори, равное по условию разности правильных чисел Анны и Васи. Решение системы уравнений доказывает единственность? ;-)

[novich-ok.livejournal.com]

Они знают, у кого какое имя? Например, Аня знает, где перед ней Боря, а где Вася?

[avva.livejournal.com]

Да, они знают друг друга по именам, и знают заранее, в каком порядке будут отвечать.

[e2pii1.livejournal.com]

Наверно уже решили, т.к. я поздно начал решать, но напишу решение, опуская легкие/очевидные шаги:

Обозначим числа: а,б,в

После
"
Аня: "я не знаю свое число".
Боря: "я не знаю свое число".
Вася: "я не знаю свое число".
"

Мы знаем что: б!=в, в!=25, б!=25, б!=50
Аня знает что (в скобках из чьих ходов), и это её вся информация:
а!=б (Вася), а!=в (Боря), а!=2в (Боря(Аня)), а!=2б, б!=2а, б!=а+-а/2 (Вася(Боря(Аня)))

Все возможные решения - это пары ниже такие что вторая опция для а(б,в) не удовлетворяет одному из условий выше (тогда Аня может догадаться что годится только первая опция а=25):

{ б, в = 25-б } - вторая опция а' = |25 - 2б|
{ б, в = б+-25 } - вторая опция а' = 2б +- 25

Проверяем, из первых пар подходят только б=10 (нарушено б != 2а' = 2*(25 - 2б)) и б=25 (нарушено б != а' = |25 - 2б|).
Из вторых пар ничего не подходит.
Но б=25 не годится т.к. мы знаем что б!=25 (иначе Вася бы свое число угадал).

Так что: а=25, б=10, в=15

(Аня знает, что если б у нее было 5 = 15-10, то Вася бы понял, что у него не может 5 = 10-5, и угадал бы свое 15 = 10+5)

[novich-ok.livejournal.com]

В этом порядке Аня, например, может пропустить свою очередь, если видит определенную комбинацию?

[type-o-graph.livejournal.com]

А=25, Б=10, В=15

В уме решить не получилось...

Каждый участник(-ца) знает, что его число равно либо сумме двух других, либо разности. Соответственно, быть уверенным в своём числе он может только в случае, если либо сумма, либо разность уже исключена.

В первом раунде Аня может назвать своё число только если Б == В (ноль у неё на лбу быть не может). Значит Б != В.
Боря может назвать своё число либо если А == В, либо если А == 2В (сумма Б = 3В, разность Б = В, но Б == В мы уже исключили). Значит, А != В и А != 2В.
Вася может назвать своё число либо если А == Б, либо если А == 2Б, либо если Б == 2А (А != 2В не даёт дополнительных исключений, так как В = А/2 это разность для Б == А/2, т.е. А == 2Б).

Итак, ко второму раунду Аня знает, что А != Б, Б != В, В != А, А != 2В, А != 2Б, Б != 2А. Один из этих случаев ей помогает, и она называет своё число. Какие числа возможны?

Б != В уже было в первом раунде.
А != Б исключает разность при В == 2Б, в этом случае А = 3Б, но 25 не делится на 3. Аналогично для А != В.
А != 2В исключает разность при Б == 3В, в этом случае А = 4В, но 25 не делится на 4. Аналогично для А != 2Б.
Б != 2А исключает разность при 2В == 3Б, в этом случае Б == 2А/5 == 10, В == 3А/5 == 15, и это единственный возможный случай.

[irhijeta.livejournal.com]

Почему Аня не сказала 75?
По идее 25, 50 и 75 подходят.